Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку M (18-21).

Для нахождения первообразной $F(x)$, график которой проходит через точку $M(x_0; y_0)$, нужно сначала найти общее выражение для первообразной $F(x) = \int f(x)dx + C$, а затем подставить координаты точки $M$ для нахождения константы $C$. 18. $f(x) = \frac{2}{x^4} = 2x^{-4}$, $M(2; -1)$ $$F(x) = \int 2x^{-4} dx = 2 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{2}{3x^3} + C$$ Подставим $M(2; -1)$: $-1 = -\frac{2}{3 \cdot 2^3} + C \Rightarrow -1 = -\frac{2}{24} + C \Rightarrow -1 = -\frac{1}{12} + C \Rightarrow C = -\frac{11}{12}$ **Ответ: $F(x) = -\frac{2}{3x^3} - \frac{11}{12}$** 19. $f(x) = \cos x + \sin x$, $M(\pi; -2)$ $$F(x) = \int (\cos x + \sin x) dx = \sin x - \cos x + C$$ Подставим $M(\pi; -2)$: $-2 = \sin \pi - \cos \pi + C \Rightarrow -2 = 0 - (-1) + C \Rightarrow -2 = 1 + C \Rightarrow C = -3$ **Ответ: $F(x) = \sin x - \cos x - 3$** 20. $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x}$, $M(1; -3)$ $$F(x) = \int (x^{-1/2} - \frac{2}{x}) dx = 2\sqrt{x} - 2\ln|x| + C$$ Подставим $M(1; -3)$: $-3 = 2\sqrt{1} - 2\ln|1| + C \Rightarrow -3 = 2 - 0 + C \Rightarrow C = -5$ **Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x} - 2\ln|x| - 5$** 21. $f(x) = e^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{x+2}$, $M(0; -2)$ $$F(x) = \int (e^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{x+2}) dx = 2e^{\frac{x}{2}} + \ln|x+2| + C$$ Подставим $M(0; -2)$: $-2 = 2e^{0} + \ln|0+2| + C \Rightarrow -2 = 2 + \ln 2 + C \Rightarrow C = -4 - \ln 2$ **Ответ: $F(x) = 2e^{\frac{x}{2}} + \ln|x+2| - 4 - \ln 2$**