Найти все первообразные функции f(x) = x^6 + 3x^2

1. Найти все первообразные функции: а) Для функции $f(x) = x^6 + 3x^2$: $$F(x) = \int (x^6 + 3x^2) dx = \frac{x^{6+1}}{6+1} + 3\frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^7}{7} + 3\frac{x^3}{3} + C = \frac{x^7}{7} + x^3 + C$$ **Ответ: $F(x) = \frac{x^7}{7} + x^3 + C$** б) Для функции $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^4}$: Перепишем функцию как $f(x) = x^{-1} + 2x^{-4}$. $$F(x) = \int (x^{-1} + 2x^{-4}) dx = \ln|x| + 2\frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \ln|x| + 2\frac{x^{-3}}{-3} + C = \ln|x| - \frac{2}{3x^3} + C$$ **Ответ: $F(x) = \ln|x| - \frac{2}{3x^3} + C$** в) Для функции $f(x) = 3\cos x - \sqrt{x}$: Перепишем функцию как $f(x) = 3\cos x - x^{1/2}$. $$F(x) = \int (3\cos x - x^{1/2}) dx = 3\sin x - \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = 3\sin x - \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 3\sin x - \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$ **Ответ: $F(x) = 3\sin x - \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$** г) Для функции $f(x) = \frac{6}{3x + 2} - 3\cos(4 - 1,5x)$: $$F(x) = \int \left(\frac{6}{3x+2} - 3\cos(4 - 1,5x)\right) dx$$ Первое слагаемое: $$\int \frac{6}{3x+2} dx = 6 \int \frac{1}{3x+2} dx = 6 \cdot \frac{1}{3} \ln|3x+2| = 2\ln|3x+2|$$ Второе слагаемое: $$\int -3\cos(4 - 1,5x) dx = -3 \int \cos(4 - 1,5x) dx = -3 \cdot \frac{1}{-1,5} \sin(4 - 1,5x) = 2\sin(4 - 1,5x)$$ Собираем вместе: $$F(x) = 2\ln|3x+2| + 2\sin(4 - 1,5x) + C$$ **Ответ: $F(x) = 2\ln|3x+2| + 2\sin(4 - 1,5x) + C$** 2. Для функции $f(x) = 4x - 1$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(-1; 3)$. Сначала найдем общую первообразную $F(x)$: $$F(x) = \int (4x - 1) dx = 4\frac{x^2}{2} - x + C = 2x^2 - x + C$$ Теперь используем условие, что график проходит через точку $M(-1; 3)$, то есть $F(-1) = 3$: $$3 = 2(-1)^2 - (-1) + C$$ $$3 = 2(1) + 1 + C$$ $$3 = 2 + 1 + C$$ $$3 = 3 + C$$ $$C = 0$$ Подставляем $C=0$ в выражение для $F(x)$: $$F(x) = 2x^2 - x$$ **Ответ: $F(x) = 2x^2 - x$** 3. Найти первообразную $F(x)$ функции $f(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} + 4(x-1)^5$, если $F(0) = 1$. Перепишем функцию как $f(x) = -(x+1)^{-2} + 4(x-1)^5$. Сначала найдем общую первообразную $F(x)$: $$F(x) = \int \left(-(x+1)^{-2} + 4(x-1)^5\right) dx$$ Первое слагаемое: $$\int -(x+1)^{-2} dx = -\frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1} = -\frac{(x+1)^{-1}}{-1} = (x+1)^{-1} = \frac{1}{x+1}$$ Второе слагаемое: $$\int 4(x-1)^5 dx = 4\frac{(x-1)^{5+1}}{5+1} = 4\frac{(x-1)^6}{6} = \frac{2}{3}(x-1)^6$$ Собираем вместе: $$F(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{3}(x-1)^6 + C$$ Теперь используем условие $F(0) = 1$: $$1 = \frac{1}{0+1} + \frac{2}{3}(0-1)^6 + C$$ $$1 = \frac{1}{1} + \frac{2}{3}(-1)^6 + C$$ $$1 = 1 + \frac{2}{3}(1) + C$$ $$1 = 1 + \frac{2}{3} + C$$ $$0 = \frac{2}{3} + C$$ $$C = -\frac{2}{3}$$ Подставляем $C = -\frac{2}{3}$ в выражение для $F(x)$: $$F(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{3}(x-1)^6 - \frac{2}{3}$$ **Ответ: $F(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{3}(x-1)^6 - \frac{2}{3}$**