Найти все первообразные функции: 1) x^4; 2) x^3; 3) x^-3; 4) x^-1/2.

Ниже представлены решения для заданий 985, 986 и 987. ### Задание 985 Найти все первообразные функции $F(x) = \int f(x) dx$: 1) $f(x) = x^4 \Rightarrow$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^5}{5} + C$ 2) $f(x) = x^3 \Rightarrow$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^4}{4} + C$ 3) $f(x) = x^{-3} \Rightarrow$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$ 4) $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$ --- ### Задание 986 Найти первообразную, график которой проходит через точку $M$: 1) $f(x) = x, M(-1; 3)$ Общий вид: $F(x) = \frac{x^2}{2} + C$ Подставим координаты точки $M$: $3 = \frac{(-1)^2}{2} + C \Rightarrow 3 = 0,5 + C \Rightarrow C = 2,5$ **Ответ:** $F(x) = 0,5x^2 + 2,5$ 2) $f(x) = \sqrt{x}, M(9; 10)$ Общий вид: $F(x) = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{1,5} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$ Подставим координаты: $10 = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} + C \Rightarrow 10 = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3 + C \Rightarrow 10 = 18 + C \Rightarrow C = -8$ **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 8$ --- ### Задание 987 Показать, что $F(x)$ является первообразной $f(x)$, проверив условие $F'(x) = f(x)$: 1) $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}, f(x) = e^{\frac{x}{3}}$ $F'(x) = (3e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = e^{\frac{x}{3}} = f(x)$ **Что и требовалось доказать.** 2) $F(x) = \sin 2x, f(x) = 2 \cos 2x$ $F'(x) = (\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2 \cos 2x = f(x)$ **Что и требовалось доказать.**