Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку M. Найти одну из первообразных функции (993).

Для нахождения первообразной $F(x)$, график которой проходит через точку $M(x_0; y_0)$, нужно найти общее выражение первообразных $F(x) = \int f(x) dx + C$ и вычислить значение константы $C$, подставив координаты точки. **992** 1) $f(x) = 2x + 3, M(1; 2)$ $F(x) = x^2 + 3x + C$ $2 = 1^2 + 3 \cdot 1 + C \Rightarrow 2 = 4 + C \Rightarrow C = -2$ Ответ: $F(x) = x^2 + 3x - 2$ 2) $f(x) = 4x - 1, M(-1; 3)$ $F(x) = 2x^2 - x + C$ $3 = 2(-1)^2 - (-1) + C \Rightarrow 3 = 2 + 1 + C \Rightarrow C = 0$ Ответ: $F(x) = 2x^2 - x$ 3) $f(x) = \sin 2x, M(\frac{\pi}{2}; 5)$ $F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$ $5 = -\frac{1}{2} \cos (2 \cdot \frac{\pi}{2}) + C \Rightarrow 5 = -\frac{1}{2} \cos \pi + C \Rightarrow 5 = -\frac{1}{2}(-1) + C \Rightarrow 5 = 0,5 + C \Rightarrow C = 4,5$ Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + 4,5$ 4) $f(x) = \cos 3x, M(0; 0)$ $F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x + C$ $0 = \frac{1}{3} \sin (3 \cdot 0) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$ Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x$ **993** (Найти одну из первообразных, примем $C=0$) 1) $f(x) = e^{2x} - \cos 3x$ Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{3} \sin 3x$ 2) $f(x) = e^{\frac{x}{4}} + \sin 2x$ Ответ: $F(x) = 4e^{\frac{x}{4}} - \frac{1}{2} \cos 2x$ 3) $f(x) = 2 \sin \frac{x}{5} - 5e^{\frac{2x+1}{3}}$ Ответ: $F(x) = -10 \cos \frac{x}{5} - \frac{15}{2}e^{\frac{2x+1}{3}}$ 4) $f(x) = 3 \cos \frac{x}{7} + 2e^{\frac{3x-1}{2}}$ Ответ: $F(x) = 21 \sin \frac{x}{7} + \frac{4}{3}e^{\frac{3x-1}{2}}$ 5) $f(x) = \sqrt{\frac{x}{5}} + 4 \sin (4x + 2) = \frac{1}{\sqrt{5}}x^{\frac{1}{2}} + 4 \sin (4x + 2)$ Ответ: $F(x) = \frac{2}{3\sqrt{5}}x\sqrt{x} - \cos (4x + 2)$ 6) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3x+1}} - \frac{3}{2x-5} = 4(3x+1)^{-\frac{1}{2}} - 3(2x-5)^{-1}$ Ответ: $F(x) = \frac{8}{3}\sqrt{3x+1} - \frac{3}{2}\ln|2x-5|$