Найти наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 10x + 4 \ln x + 11$ на отрезке $\left[\frac{10}{11}; \frac{12}{11}\right]$.

Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно найти производную, приравнять её к нулю, найти критические точки и затем сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка. 1. Найдём производную функции: $$y = 3x^2 - 10x + 4\ln x + 11$$ $$y' = (3x^2)' - (10x)' + (4\ln x)' + (11)'$$ $$y' = 6x - 10 + \frac{4}{x}$$ 2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: $$6x - 10 + \frac{4}{x} = 0$$ Умножим всё на $x$ (при условии $x \neq 0$): $$6x^2 - 10x + 4 = 0$$ Разделим на 2: $$3x^2 - 5x + 2 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ 3. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $\left[\frac{10}{11}; \frac{12}{11}\right]$: Отрезок примерно от $0,909$ до $1,090$. Точка $x_1 = \frac{2}{3} \approx 0,667$. Эта точка не входит в отрезок. Точка $x_2 = 1$. Эта точка входит в отрезок $\left[\frac{10}{11}; \frac{12}{11}\right]$. 4. Найдём значения функции на концах отрезка и в критической точке, которая входит в отрезок: Вычислим значение функции в точке $x = 1$: $$y(1) = 3(1)^2 - 10(1) + 4\ln(1) + 11 = 3 - 10 + 4 \cdot 0 + 11 = 3 - 10 + 0 + 11 = 4$$ Вычислим значение функции на левом конце отрезка $x = \frac{10}{11}$: $$y\left(\frac{10}{11}\right) = 3\left(\frac{10}{11}\right)^2 - 10\left(\frac{10}{11}\right) + 4\ln\left(\frac{10}{11}\right) + 11$$ $$y\left(\frac{10}{11}\right) = 3\left(\frac{100}{121}\right) - \frac{100}{11} + 4\ln\left(\frac{10}{11}\right) + 11$$ $$y\left(\frac{10}{11}\right) = \frac{300}{121} - \frac{1100}{121} + \frac{1331}{121} + 4\ln\left(\frac{10}{11}\right)$$ $$y\left(\frac{10}{11}\right) = \frac{300 - 1100 + 1331}{121} + 4\ln\left(\frac{10}{11}\right) = \frac{531}{121} + 4\ln\left(\frac{10}{11}\right)$$ Приблизительно: $y\left(\frac{10}{11}\right) \approx 4,388 - 0,381 \approx 4,007$ Вычислим значение функции на правом конце отрезка $x = \frac{12}{11}$: $$y\left(\frac{12}{11}\right) = 3\left(\frac{12}{11}\right)^2 - 10\left(\frac{12}{11}\right) + 4\ln\left(\frac{12}{11}\right) + 11$$ $$y\left(\frac{12}{11}\right) = 3\left(\frac{144}{121}\right) - \frac{120}{11} + 4\ln\left(\frac{12}{11}\right) + 11$$ $$y\left(\frac{12}{11}\right) = \frac{432}{121} - \frac{1320}{121} + \frac{1331}{121} + 4\ln\left(\frac{12}{11}\right)$$ $$y\left(\frac{12}{11}\right) = \frac{432 - 1320 + 1331}{121} + 4\ln\left(\frac{12}{11}\right) = \frac{443}{121} + 4\ln\left(\frac{12}{11}\right)$$ Приблизительно: $y\left(\frac{12}{11}\right) \approx 3,661 + 0,347 \approx 4,008$ 5. Сравним полученные значения: $y(1) = 4$ $y\left(\frac{10}{11}\right) \approx 4,007$ $y\left(\frac{12}{11}\right) \approx 4,008$ Наименьшее значение функции на данном отрезке равно 4. **Ответ:** 4