Найдите наименьшее значение функции $y = \frac{x^2 + 25}{x}$ на отрезке $[1; 10]$

Для нахождения наименьшего значения функции $y = \frac{x^2 + 25}{x}$ на отрезке $[1; 10]$ нужно выполнить несколько шагов. Сначала упростим функцию: $$y = \frac{x^2 + 25}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{25}{x} = x + \frac{25}{x}$$ Далее найдем производную функции: $$y' = (x + \frac{25}{x})' = (x)' + (25x^{-1})' = 1 - 25x^{-2} = 1 - \frac{25}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$1 - \frac{25}{x^2} = 0$$ $$\frac{x^2 - 25}{x^2} = 0$$ Отсюда $x^2 - 25 = 0$, то есть $x^2 = 25$. Значит, $x = 5$ или $x = -5$. Так как нас интересует отрезок $[1; 10]$, то критическая точка $x = 5$ находится на этом отрезке, а $x = -5$ нет. Теперь нужно вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка: 1. В точке $x = 5$: $$y(5) = 5 + \frac{25}{5} = 5 + 5 = 10$$ 2. На левом конце отрезка $x = 1$: $$y(1) = 1 + \frac{25}{1} = 1 + 25 = 26$$ 3. На правом конце отрезка $x = 10$: $$y(10) = 10 + \frac{25}{10} = 10 + 2.5 = 12.5$$ Сравнивая полученные значения $10$, $26$ и $12.5$, мы видим, что наименьшее значение функции на отрезке $[1; 10]$ равно $10$. **Ответ:** $10$