Найдите наименьшее значение функции $y = 2x^2 - 5x + \ln x - 3$ на отрезке $\left[\frac{5}{6}; \frac{7}{6}\right]$

Для нахождения наименьшего значения функции $y = 2x^2 - 5x + \ln x - 3$ на отрезке $\left[\frac{5}{6}; \frac{7}{6}\right]$ нужно выполнить следующие шаги: 1. Найти производную функции: $$y' = (2x^2 - 5x + \ln x - 3)' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$$ 2. Приравнять производную к нулю и найти критические точки: $$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0$$ Умножим все на $x$ (при условии $x \neq 0$, что верно, так как $\ln x$ определен при $x > 0$): $$4x^2 - 5x + 1 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$$ 3. Определить, какие из критических точек попадают в заданный отрезок $\left[\frac{5}{6}; \frac{7}{6}\right]$: Переведем границы отрезка в десятичные дроби для удобства: $\frac{5}{6} \approx 0.833$ и $\frac{7}{6} \approx 1.167$. - $x_1 = \frac{1}{4} = 0.25$. Эта точка не входит в отрезок $[0.833; 1.167]$. - $x_2 = 1$. Эта точка входит в отрезок $[0.833; 1.167]$. 4. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критической точке, которая попала в отрезок: - На левом конце отрезка $x = \frac{5}{6}$: $$y\left(\frac{5}{6}\right) = 2\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{6}\right) + \ln\left(\frac{5}{6}\right) - 3$$ $$y\left(\frac{5}{6}\right) = 2\left(\frac{25}{36}\right) - \frac{25}{6} + \ln\left(\frac{5}{6}\right) - 3$$ $$y\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{50}{36} - \frac{150}{36} + \ln\left(\frac{5}{6}\,\right) - \frac{108}{36}$$ $$y\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{50 - 150 - 108}{36} + \ln\left(\frac{5}{6}\,\right) = \frac{-208}{36} + \ln\left(\frac{5}{6}\,\right) = -\frac{52}{9} + \ln\left(\frac{5}{6}\,\right) \approx -5.778 - 0.182 = -5.96$$ - В критической точке $x = 1$: $$y(1) = 2(1)^2 - 5(1) + \ln(1) - 3$$ $$y(1) = 2 - 5 + 0 - 3 = -6$$ - На правом конце отрезка $x = \frac{7}{6}$: $$y\left(\frac{7}{6}\right) = 2\left(\frac{7}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{7}{6}\,\right) + \ln\left(\frac{7}{6}\,\right) - 3$$ $$y\left(\frac{7}{6}\right) = 2\left(\frac{49}{36}\right) - \frac{35}{6} + \ln\left(\frac{7}{6}\,\right) - 3$$ $$y\left(\frac{7}{6}\right) = \frac{98}{36} - \frac{210}{36} + \ln\left(\frac{7}{6}\,\right) - \frac{108}{36}$$ $$y\left(\frac{7}{6}\right) = \frac{98 - 210 - 108}{36} + \ln\left(\frac{7}{6}\,\right) = \frac{-220}{36} + \ln\left(\frac{7}{6}\,\right) = -\frac{55}{9} + \ln\left(\frac{7}{6}\,\right) \approx -6.111 + 0.154 = -5.957$$ 5. Сравнить полученные значения и выбрать наименьшее: - $y\left(\frac{5}{6}\right) \approx -5.96$ - $y(1) = -6$ - $y\left(\frac{7}{6}\right) \approx -5.957$ Наименьшее значение функции на данном отрезке равно $-6$. **Ответ:** $-6$