Найдите наименьшее значение функции y = (x² + 25) / x на отрезке [1; 10]

Question

Вопрос:

Найдите наименьшее значение функции y = (x² + 25) / x на отрезке [1; 10]

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 10** Для поиска наименьшего значения функции $y = \frac{x^2 + 25}{x}$ на отрезке $[1; 10]$ воспользуемся производной: 1. Преобразуем функцию для удобства дифференцирования: $$y = \frac{x^2}{x} + \frac{25}{x} = x + 25x^{-1}$$ 2. Найдем производную: $$y' = 1 - 25x^{-2} = 1 - \frac{25}{x^2}$$ 3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$1 - \frac{25}{x^2} = 0$$ $$\frac{25}{x^2} = 1$$ $$x^2 = 25$$ $$x_1 = 5, \quad x_2 = -5$$ 4. В заданный отрезок $[1; 10]$ входит только точка $x = 5$. 5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - При $x = 1$: $y(1) = \frac{1^2 + 25}{1} = 26$ - При $x = 5$: $y(5) = \frac{5^2 + 25}{5} = \frac{50}{5} = 10$ - При $x = 10$: $y(10) = \frac{10^2 + 25}{10} = \frac{125}{10} = 12,5$ Наименьшее значение функции равно 10.

Найдите наименьшее значение функции y = (x² + 25) / x на отрезке [1; 10]

Ответ ассистента

Другие решения