Найдите наименьшее значение функции y = (8 - x)e^{9-x} на отрезке [3; 10]

**Ответ: -2** Чтобы найти наименьшее значение функции $y = (8 - x) e^{9-x}$ на отрезке $[3; 10]$, выполним следующие шаги: 1. **Найдем производную функции.** Используем формулу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $y' = (8 - x)' \cdot e^{9-x} + (8 - x) \cdot (e^{9-x})'$ $y' = -1 \cdot e^{9-x} + (8 - x) \cdot e^{9-x} \cdot (9 - x)'$ $y' = -e^{9-x} + (8 - x) \cdot e^{9-x} \cdot (-1)$ $y' = e^{9-x}(-1 - 8 + x)$ $y' = (x - 9) e^{9-x}$ 2. **Найдем критические точки.** Приравняем производную к нулю: $(x - 9) e^{9-x} = 0$ Так как $e^{9-x} > 0$ при любых $x$, то: $x - 9 = 0$ $x = 9$ Точка $x = 9$ принадлежит заданному отрезку $[3; 10]$. 3. **Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке.** - При $x = 3$: $y(3) = (8 - 3) e^{9-3} = 5 e^6$ (положительное число) - При $x = 9$: $y(9) = (8 - 9) e^{9-9} = -1 \cdot e^0 = -1 \cdot 1 = -1$ - При $x = 10$: $y(10) = (8 - 10) e^{9-10} = -2 \cdot e^{-1} = -\frac{2}{e} \approx -0,736$ 4. **Сравним полученные результаты.** Сравним $-1$ и $-\frac{2}{e}$. Так как $e \approx 2,718$, то $\frac{2}{e} < 1$, следовательно, $-1 < -\frac{2}{e}$. Наименьшее значение функции равно $-1$.