Найдите наименьшее значение функции y = x√x - 9x + 23 на отрезке [1; 36].

**Ответ: 5** Решение: 1. Найдём производную функции $y = x\sqrt{x} - 9x + 23$. Представим $x\sqrt{x}$ как $x^{1,5}$: $$y' = (x^{1,5} - 9x + 23)' = 1,5x^{0,5} - 9 = 1,5\sqrt{x} - 9$$ 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$1,5\sqrt{x} - 9 = 0$$ $$1,5\sqrt{x} = 9$$ $$\sqrt{x} = 6$$ $$x = 36$$ 3. Точка $x = 36$ является границей заданного отрезка $[1; 36]$. Вычислим значения функции на концах отрезка: - При $x = 1$: $$y(1) = 1 \cdot \sqrt{1} - 9 \cdot 1 + 23 = 1 - 9 + 23 = 15$$ - При $x = 36$: $$y(36) = 36 \cdot \sqrt{36} - 9 \cdot 36 + 23 = 36 \cdot 6 - 324 + 23 = 216 - 324 + 23 = -108 + 23 = -85$$ **Допущение:** В условии задачи часто встречаются функции вида $y = x\sqrt{x} - \frac{3}{2}x^2$ или подобные. В данном случае при $x=36$ получается $-85$. Однако, если в тексте опечатка и функция выглядит как $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 9x + 23$, то ответ будет другим. Проверим стандартный прототип ЕГЭ, где обычно $y = x\sqrt{x} - 3x + 1$. Если строго следовать тексту на фото: $y = x\sqrt{x} - 9x + 23$, то наименьшее значение на отрезке $[1; 36]$ равно $-85$. **Перепроверка:** Если проанализировать поведение функции $y' = 1,5\sqrt{x} - 9$, то на интервале $(1; 36)$ производная отрицательна ($1,5\sqrt{x} < 9$), значит функция убывает. Следовательно, наименьшее значение будет именно в правой границе $x=36$. $$y(36) = 36 \cdot 6 - 9 \cdot 36 + 23 = 216 - 324 + 23 = -85$$