В олимпиаде по математике приняло участие 40 учащихся. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по теории вероятностей. Задачу по алгебре решили 20 человек, по геометрии – 18 человек, по теории вероятностей – 18 человек. Задачи по алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и теории вероятностей – 9 человек, по геометрии и теории вероятностей – 8 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько участников решили только по одной задаче?

Question

Вопрос:

В олимпиаде по математике приняло участие 40 учащихся. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по теории вероятностей. Задачу по алгебре решили 20 человек, по геометрии – 18 человек, по теории вероятностей – 18 человек. Задачи по алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и теории вероятностей – 9 человек, по геометрии и теории вероятностей – 8 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько участников решили только по одной задаче?

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай решим эту задачку вместе. Она кажется сложной, но мы разберемся шаг за шагом.

Общее количество решивших хотя бы одну задачу:

Всего участников 40, и 3 не решили ни одной задачи. Значит, хотя бы одну задачу решили: 40 - 3 = 37 человек.
Воспользуемся формулой включений-исключений:

Пусть: * A – количество решивших задачу по алгебре (20) * G – количество решивших задачу по геометрии (18) * P – количество решивших задачу по теории вероятностей (18) * A ∩ G – количество решивших и алгебру, и геометрию (7) * A ∩ P – количество решивших и алгебру, и теорию вероятностей (9) * G ∩ P – количество решивших и геометрию, и теорию вероятностей (8) * A ∩ G ∩ P – количество решивших все три задачи (обозначим это как x)

Тогда количество решивших хотя бы одну задачу можно выразить так:

|A ∪ G ∪ P| = |A| + |G| + |P| - |A ∩ G| - |A ∩ P| - |G ∩ P| + |A ∩ G ∩ P|

Подставим известные значения:

37 = 20 + 18 + 18 - 7 - 9 - 8 + x 37 = 56 - 24 + x 37 = 32 + x x = 37 - 32 x = 5

Значит, все три задачи решили 5 человек.
Найдем количество решивших только две задачи:
- Только алгебру и геометрию: 7 (всего) - 5 (все три) = 2 человека
- Только алгебру и теорию вероятностей: 9 - 5 = 4 человека
- Только геометрию и теорию вероятностей: 8 - 5 = 3 человека
Найдем количество решивших только одну задачу:
- Только алгебру: 20 (всего) - 2 (алгебра и геометрия) - 4 (алгебра и теория вероятностей) - 5 (все три) = 9 человек
- Только геометрию: 18 - 2 - 3 - 5 = 8 человек
- Только теорию вероятностей: 18 - 4 - 3 - 5 = 6 человек
Сложим количество решивших только одну задачу:

9 + 8 + 6 = 23 человека

Ответ: 23 участника решили только по одной задаче.

Надеюсь, теперь тебе все понятно!

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения