В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии — 18 человек, по тригонометрии — 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии — 9 человек, по геометрии и тригонометрии — 8 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений и исключений. Пусть: * $A$ — множество учеников, решивших задачу по алгебре. * $Г$ — множество учеников, решивших задачу по геометрии. * $Т$ — множество учеников, решивших задачу по тригонометрии. Нам даны следующие значения: * Общее количество учеников: $|U| = 40$ * Решили по алгебре: $|A| = 20$ * Решили по геометрии: $|Г| = 18$ * Решили по тригонометрии: $|Т| = 18$ * Решили по алгебре и геометрии: $|A \cap Г| = 7$ * Решили по алгебре и тригонометрии: $|A \cap Т| = 9$ * Решили по геометрии и тригонометрии: $|Г \cap Т| = 8$ * Ни одной задачи не решили: $|U| - |A \cup Г \cup Т| = 3$ Найдём, сколько учеников решили хотя бы одну задачу: $$|A \cup Г \cup Т| = |U| - 3 = 40 - 3 = 37$$ Теперь используем формулу для объединения трёх множеств: $$|A \cup Г \cup Т| = |A| + |Г| + |Т| - (|A \cap Г| + |A \cap Т| + |Г \cap Т|) + |A \cap Г \cap Т|$$ Подставим известные значения: $$37 = 20 + 18 + 18 - (7 + 9 + 8) + |A \cap Г \cap Т|$$ $$37 = 56 - 24 + |A \cap Г \cap Т|$$ $$37 = 32 + |A \cap Г \cap Т|$$ $$|A \cap Г \cap Т| = 37 - 32$$ $$|A \cap Г \cap Т| = 5$$ Это значение означает, что 5 учеников решили все три задачи (по алгебре, геометрии и тригонометрии). **Ответ:** 5