Сколько учащихся решили все задачи?

Давай решим эту задачу с помощью формулы включений-исключений для трех множеств. Пусть: * $A$ — множество учащихся, решивших задачу по алгебре. * $B$ — множество учащихся, решивших задачу по геометрии. * $C$ — множество учащихся, решивших задачу по тригонометрии. Нам дано: * Всего учащихся: $N = 40$ * Решили по алгебре: $|A| = 20$ * Решили по геометрии: $|B| = 18$ * Решили по тригонометрии: $|C| = 18$ * Решили по алгебре и геометрии: $|A \cap B| = 7$ * Решили по алгебре и тригонометрии: $|A \cap C| = 9$ * Решили по геометрии и тригонометрии: $|B \cap C| = 8$ * Ни одной задачи не решили: $N_{none} = 3$ Нам нужно найти, сколько учащихся решили все задачи, то есть $|A \cap B \cap C|$. Сначала найдём, сколько учащихся решили хотя бы одну задачу. Для этого из общего количества учащихся вычтем тех, кто не решил ни одной задачи: $$N_{one\_or\_more} = N - N_{none} = 40 - 3 = 37$$ Теперь используем формулу включений-исключений для трёх множеств. Количество элементов в объединении трех множеств равно: $$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$$ Мы знаем, что $|A \cup B \cup C| = N_{one\_or\_more} = 37$. Подставим известные значения в формулу: $$37 = 20 + 18 + 18 - (7 + 9 + 8) + |A \cap B \cap C|$$ Выполним сложение и вычитание: $$37 = 56 - (24) + |A \cap B \cap C|$$ $$37 = 32 + |A \cap B \cap C|$$ Теперь найдём $|A \cap B \cap C|$: $$|A \cap B \cap C| = 37 - 32$$ $$|A \cap B \cap C| = 5$$ **Ответ:** 5