Периметр равнобедренного треугольника равен 34 см. Найдите стороны треугольника, если его основание на 2 см меньше боковой стороны.

### 1. Решение Пусть боковая сторона треугольника равна $x$ см. Так как треугольник равнобедренный, то две стороны равны $x$. Основание на 2 см меньше боковой стороны, значит, оно равно $(x - 2)$ см. Периметр — это сумма длин всех сторон. $x + x + (x - 2) = 34$ $3x - 2 = 34$ $3x = 36$ $x = 12$ Боковые стороны равны 12 см, основание равно $12 - 2 = 10$ см. **Ответ:** 12 см, 12 см, 10 см. ### 2. Решение 1. В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB=BC$) медиана $BD$ к основанию $AC$ является также высотой и биссектрисой. 2. Поскольку $BD$ — биссектриса, то $\angle ABD = \angle CBD$. 3. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$: - $AB = BC$ (по условию); - $\angle ABM = \angle CBM$ (доказали выше); - $BM$ — общая сторона. 4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABM = \triangle CBM$. Что и требовалось доказать. ### 3. Решение 1. $\triangle MNK$ равнобедренный с $MN = NK$, следовательно, $\angle M = \angle K$. 2. $A$ — середина $MK$, значит, $MA = AK$. 3. $B$ — середина $MN$, значит, $MB = \frac{1}{2} MN$. $C$ — середина $NK$, значит, $KC = \frac{1}{2} NK$. Так как $MN = NK$, то $MB = KC$. 4. Рассмотрим $\triangle MAB$ и $\triangle KAC$: - $MA = AK$ (по доказанному); - $\angle M = \angle K$ (углы при основании); - $MB = KC$ (по доказанному). 5. По первому признаку (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle MAB = \triangle KAC$. Следовательно, $\angle MAB = \angle KAC$. ### 4. Решение 1. Периметр $\triangle ABD = AB + BD + AD = 18$ см. 2. Так как $BD = 7$ см, то $AB + AD = 18 - 7 = 11$ см. 3. В равнобедренном $\triangle ABC$ биссектриса $BD$ является и медианой к основанию $AC$. Значит, $AC = 2 \cdot AD$. Также $AB = BC$. 4. Периметр $\triangle ABC = AB + BC + AC = 2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 2 \cdot (AB + AD)$. 5. Подставим значение суммы: $2 \cdot 11 = 22$ см. **Ответ:** 22 см.