В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили 20 человек, по геометрии — 18 человек, по тригонометрии — 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии — 8 человек, по геометрии и тригонометрии — 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи?

Давай решим эту задачку по теории вероятности с помощью диаграммы Эйлера-Венна! Пусть: - $A$ — множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре. - $Г$ — множество абитуриентов, решивших задачу по геометрии. - $Т$ — множество абитуриентов, решивших задачу по тригонометрии. Нам дано: - Общее количество абитуриентов: $N = 40$ - Ни одной задачи не решили: $3$ человека. Значит, хотя бы одну задачу решили $40 - 3 = 37$ человек. Теперь запишем данные в виде формул для количества элементов множеств: - $|A| = 20$ - $|Г| = 18$ - $|Т| = 18$ - $|A \cap Г| = 7$ - $|A \cap Т| = 8$ - $|Г \cap Т| = 9$ Нам нужно найти количество человек, которые решили все три задачи, то есть $|A \cap Г \cap Т|$. Используем формулу включения-исключения для трёх множеств: $$|A \cup Г \cup Т| = |A| + |Г| + |Т| - |A \cap Г| - |A \cap Т| - |Г \cap Т| + |A \cap Г \cap Т|$$ Мы знаем, что $|A \cup Г \cup Т|$ — это количество человек, решивших хотя бы одну задачу, то есть $37$. Подставим известные значения в формулу: $$37 = 20 + 18 + 18 - 7 - 8 - 9 + |A \cap Г \cap Т|$$ Считаем сумму и разность: $$37 = 56 - 24 + |A \cap Г \cap Т|$$ $$37 = 32 + |A \cap Г \cap Т|$$ Теперь найдём $|A \cap Г \cap Т|$: $$|A \cap Г \cap Т| = 37 - 32$$ $$|A \cap Г \cap Т| = 5$$ **Ответ:** 5