В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек, по геометрии и тригонометрии – 8 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи?

Чтобы решить задачу, можно использовать формулу включений и исключений: $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$ Где: * $N = 40$ — всего учащихся. * $A$ — учащиеся, решившие задачу по алгебре. * $B$ — учащиеся, решившие задачу по геометрии. * $C$ — учащиеся, решившие задачу по тригонометрии. Из условия задачи известно: * $|A| = 20$ (алгебра) * $|B| = 18$ (геометрия) * $|C| = 18$ (тригонометрия) * $|A \cap B| = 7$ (алгебра и геометрия) * $|A \cap C| = 9$ (алгебра и тригонометрия) * $|B \cap C| = 8$ (геометрия и тригонометрия) * $|A \cap B \cap C| = 3$ (все три задачи) Сначала найдём количество учащихся, которые решили хотя бы одну задачу: $|A \cup B \cup C| = 20 + 18 + 18 - (7 + 9 + 8) + 3$ $|A \cup B \cup C| = 56 - 24 + 3$ $|A \cup B \cup C| = 32 + 3$ $|A \cup B \cup C| = 35$ Это количество учащихся, решивших хотя бы одну задачу. Количество учащихся, которые не решили ни одной задачи, равно общему количеству учащихся минус количество тех, кто решил хотя бы одну задачу: $40 - 35 = 5$ **Ответ: 5**