В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 114°. Найдите угол ACB.

4. Так как $AC$ и $BD$ — диаметры, то $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные углы, значит $\angle BOC = \angle AOD = 114^{\circ}$. Угол $ACB$ является вписанным и опирается на дугу $AB$. Угол $AOB$ — центральный, смежный с углом $AOD$, значит $\angle AOB = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. Треугольник $BOC$ равнобедренный ($OB = OC$ как радиусы), тогда $\angle ACB = (180^{\circ} - 114^{\circ}) / 2 = 33^{\circ}$. **Ответ: 33** 5. В равнобедренном $\triangle BOC$ ($OB=OC$) углы при основании равны: $\angle OBC = \angle ACB = 54^{\circ}$. Тогда центральный угол $\angle BOC = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 54^{\circ}) = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$. Углы $AOD$ и $BOC$ вертикальные, поэтому $\angle AOD = \angle BOC = 72^{\circ}$. **Ответ: 72** 6. Если центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, то $AB$ — диаметр, а $\triangle ABC$ — прямоугольный с прямым углом $C$ ($\\angle ACB = 90^{\circ}$), так как он опирается на диаметр. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$, значит $\angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 44^{\circ} = 46^{\circ}$. **Ответ: 46** 7. Поскольку центр окружности лежит на стороне $AB$, $AB$ является диаметром, а $\triangle ABC$ — прямоугольный ($\\angle C = 90^{\circ}$). Диаметр $AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 8,5 = 17$. По теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. **Ответ: 15**