17. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 19°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

17. Угол ACB — это вписанный угол, который опирается на дугу AB. Значит, градусная мера дуги AB равна двум углам ACB: $$\text{дуга AB} = 2 \cdot \angle\text{ACB} = 2 \cdot 19^\circ = 38^\circ$$ Центральный угол AOB опирается на ту же дугу AB, поэтому его градусная мера равна градусной мере дуги AB: $$\angle\text{AOB} = \text{дуга AB} = 38^\circ$$ Углы AOD и AOB являются смежными (или вертикальными, если смотреть на прямые AC и BD). Если они вертикальные, то они равны. В данном случае углы AOD и AOB являются вертикальными углами, потому что AC и BD — это две пересекающиеся прямые (диаметры) в точке O. Значит: $$\angle\text{AOD} = \angle\text{BOC}$$ (вертикальные) $$\angle\text{AOB} = \angle\text{DOC}$$ (вертикальные) Поскольку AC и BD — диаметры, то треугольник AOB равнобедренный, так как AO = OB (радиусы). Известно, что \(\angle\text{AOB} = 38^\circ\). Угол AOD и угол AOB являются смежными, если точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC. Но на рисунке и по условию они являются вертикальными углами с углами BOC и COD. Однако, если мы рассматриваем треугольник AOB, то \(\angle\text{AOB}\) — это центральный угол, опирающийся на дугу AB. \(\angle\text{ACB}\) — это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB. Следовательно: $$\angle\text{AOB} = 2 \cdot \angle\text{ACB} = 2 \cdot 19^\circ = 38^\circ$$ Углы AOD и BOC являются вертикальными углами, как и углы AOB и DOC. Сумма углов AOB и BOC равна 180°, так как они смежные вдоль диаметра AC. Тогда: $$\angle\text{BOC} = 180^\circ - \angle\text{AOB} = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$$ Угол AOD является вертикальным углом к углу BOC, поэтому: $$\angle\text{AOD} = \angle\text{BOC} = 142^\circ$$ **Ответ: 142** 18. Угол ACB — это вписанный угол, который опирается на дугу AB. Значит, градусная мера дуги AB равна двум углам ACB: $$\text{дуга AB} = 2 \cdot \angle\text{ACB} = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$$ Центральный угол AOB опирается на ту же дугу AB, поэтому его градусная мера равна градусной мере дуги AB: $$\angle\text{AOB} = \text{дуга AB} = 32^\circ$$ Углы AOD и AOB являются смежными, если рассматривать их по прямой BD, или вертикальными по отношению к BOC. Углы AOB и BOC являются смежными углами, так как вместе они образуют развернутый угол на диаметре AC: $$\angle\text{BOC} = 180^\circ - \angle\text{AOB} = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$$ Угол AOD является вертикальным углом к углу BOC, поэтому они равны: $$\angle\text{AOD} = \angle\text{BOC} = 148^\circ$$ **Ответ: 148**