1) Осевое сечение цилиндра — квадрат с диагональю 20 см. Найти объём цилиндра.

Привет! Давай решим задачи из твоего варианта. ### 1) Осевое сечение цилиндра — квадрат с диагональю 20 см. Найти объём цилиндра. Пусть $d = 20$ см — диагональ квадрата. Сторона квадрата $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$ см. В осевом сечении цилиндра мы видим прямоугольник, где высота $H$ равна стороне квадрата, а диаметр основания $D = 2a$. Сторона квадрата — это и есть высота цилиндра и его диаметр (так как это квадрат). То есть $H = 10\sqrt{2}$ см, $D = 10\sqrt{2}$ см, следовательно, радиус $r = 5\sqrt{2}$ см. Объём цилиндра $V = \pi r^2 H = \pi (5\sqrt{2})^2 \cdot 10\sqrt{2} = \pi \cdot 50 \cdot 10\sqrt{2} = 500\sqrt{2}\pi \approx 2221,4$ см$^3$. ### 2) Прямоугольник со сторонами 3 и 5 см вращается вокруг большей стороны. Найти площадь полной поверхности тела вращения. При вращении прямоугольника вокруг большей стороны (5 см) получается цилиндр, у которого высота $H = 5$ см, а радиус основания $r = 3$ см. Площадь полной поверхности $S = 2\pi r(r + H) = 2\pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 6\pi \cdot 8 = 48\pi \approx 150,8$ см$^2$. ### 3) Прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см и стороной 4 см вращается вокруг меньшей стороны. Найти объём и площадь полной поверхности тела вращения. Сначала найдем второй катет треугольника по теореме Пифагора: $a = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$ см. Вращение вокруг меньшей стороны (3 см) означает, что $H = 3$ см, радиус конуса $r = 4$ см, а образующая $l = 5$ см. Объём конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi \approx 50,3$ см$^3$. Площадь полной поверхности: $S = \pi r(r + l) = \pi \cdot 4 \cdot (4 + 5) = 36\pi \approx 113,1$ см$^2$.