Решите задачи на окружности: найдите углы и стороны треугольников, вписанных в окружность.

4. 1. $\angle BOC = \angle AOD = 114^{\circ}$ (как вертикальные). 2. $OB = OC$ (как радиусы), значит $\triangle BOC$ — равнобедренный. 3. $\angle ACB = (180^{\circ} - \angle BOC) : 2 = (180^{\circ} - 114^{\circ}) : 2 = 66^{\circ} : 2 = 33^{\circ}$. **Ответ: 33**. 5. 1. $OA = OC$ (как радиусы), значит $\triangle AOC$ — равнобедренный. 2. $\angle OAC = \angle ACB = 54^{\circ}$ (как накрест лежащие при $AD \parallel BC$, так как $ABCD$ — прямоугольник, вписанный в окружность, где диагонали — диаметры). 3. В $\triangle BOC$: $OB = OC$, $\angle OBC = \angle OCB = 54^{\circ}$. Тогда $\angle BOC = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 54^{\circ}) = 72^{\circ}$. 4. $\angle AOD = \angle BOC = 72^{\circ}$ (как вертикальные). **Ответ: 72**. 6. 1. Если центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, то $AB$ — диаметр, а $\triangle ABC$ — прямоугольный ($\angle C = 90^{\circ}$). 2. $\angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 44^{\circ} = 46^{\circ}$. **Ответ: 46**. 7. 1. Так как центр лежит на стороне $AB$, то $AB$ — диаметр. $AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 8,5 = 17$. 2. $\triangle ABC$ — прямоугольный ($\angle C = 90^{\circ}$, так как опирается на диаметр). 3. По теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. **Ответ: 15**.