Зачет № 16 Окружность. Вариант 2. Решите задачи №1-9 про свойства окружности, хорд, касательных, вписанных и описанных фигур.

№ 1. $\angle ACB$ и $\angle AOD$ связаны через центральный и вписанный углы. $\angle ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$. Тогда $\cup AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 62^\circ = 124^\circ$. $\angle AOD$ и $\angle AOB$ — смежные, а $\angle AOB$ — центральный угол, равный дуге $AB$. $\angle AOB = 124^\circ$. $\angle AOD = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$. Ответ: 56. № 2. Соединим $O$ с $B$. В $\triangle AOB$: $OA = OB$ (радиусы), значит $\angle OBA = \angle OAB = 43^\circ$. Тогда $\angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 75^\circ - 43^\circ = 32^\circ$. В $\triangle BOC$: $OB = OC$ (радиусы), значит $\angle BCO = \angle OBC = 32^\circ$. Ответ: 32. № 3. По теореме синусов: $2R = \frac{AB}{\sin C}$. $2R = \frac{14\sqrt{2}}{\sin 135^\circ}$. $\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $2R = \frac{14\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 28$. $R = 14$. Ответ: 14. № 4. Расстояние от центра до хорды делит её пополам. В $\triangle OMA$ (где $M$ — середина $AB$): $AM = 10/2 = 5$, $OM = 12$. По т. Пифагора $R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Для хорды $CD$: $R^2 = (CD/2)^2 + 5^2$. $169 = (CD/2)^2 + 25 \Rightarrow (CD/2)^2 = 144 \Rightarrow CD/2 = 12 \Rightarrow CD = 24$. Ответ: 24. № 5. Касательная перпендикулярна радиусу: $\angle OAB = 90^\circ$. В четырехугольнике $OACB$ (где $C$ — точка пересечения касательных): сумма углов $360^\circ$. $\angle AOB = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$. В равнобедренном $\triangle OAB$ ($OA=OB$): $\angle ABO = (180^\circ - 94^\circ) / 2 = 43^\circ$. Ответ: 43. № 6. По свойству касательной и секущей: $AK^2 = AB \cdot AC$. $AK^2 = 4 \cdot 64 = 256$. $AK = \sqrt{256} = 16$. Ответ: 16. № 7. Радиус вписанной окружности $r = a/2$, где $a$ — сторона квадрата. $a = 2r = 2 \cdot 22\sqrt{2} = 44\sqrt{2}$. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 44\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 44 \cdot 2 = 88$. Ответ: 88. № 8. Радиус вписанной окружности $r = a/2 = 24\sqrt{2} \Rightarrow a = 48\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности $R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{48\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{48 \cdot 2}{2} = 48$. Ответ: 48. № 9. В равностороннем треугольнике высота $h = 3r$, где $r$ — радиус вписанной окружности. $h = 3 \cdot 15 = 45$. Ответ: 45.