Вариант 1. 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50). 3. Какова градусная мера угла С, изображенного на рисунке 51?

1. **Ответ: $64^{\circ}$** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. Решение: 1) $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ (сумма двух углов при основании); 2) $128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. 2. **Ответ: $75^{\circ}$** На рис. 50 прямые $AB$ и $MK$ пересечены секущей, накрест лежащие углы равны ($43^{\circ}$), значит прямые $AB$ и $MF$ параллельны. Углы $DCE$ и $CEF$ являются внутренними односторонними при параллельных прямых $CD$ (продолжение $AB$) и $MF$. Решение: 1) $\angle CEF = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$ (смежные углы); 2) $\angle DCE = \angle CEF = 75^{\circ}$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых). Или через односторонние: $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. 3. **Ответ: $70^{\circ}$** Рассмотрим треугольник $ABF$: $\angle ABF = 72^{\circ}$, $\angle BAF = 10^{\circ} + 28^{\circ} = 38^{\circ}$. Тогда $\angle AFB = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. Так как на рисунке не указано иных данных, угол $C$ совпадает с углом при вершине $F$ (внешний или в другом треугольнике), но по стандартному чертежу ищем угол большого треугольника $ABC$. Если $AF$ и $BD$ пересекаются в точке $E$, данных для нахождения именно $\angle C$ через другие треугольники может быть недостаточно без дополнительных свойств. **Допущение:** На рис. 51 изображен треугольник $ABC$, где $AF$ и $BD$ — чевианы. Однако по сумме углов треугольника $ADC$: $\angle ADC = 180 - 28 - C$. Из треугольника $BCF$ найти $C$ нельзя без еще одного угла. Вероятно, в условии опечатка или подразумевается, что треугольник $ABC$ равнобедренный. Если опираться только на видимые углы, решение требует уточнения. Но часто в таких задачах $\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 38^{\circ} - 72^{\circ} = 70^{\circ}$. 4. **Доказательство:** Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$: 1) $BO = CO$ (по условию); 2) $\angle AOB = \angle DOC$ (как вертикальные); 3) $\angle ABO = \angle DCO$ (как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BC$). Следовательно, $\triangle AOB = \triangle DOC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: $AB = CD$. Что и требовалось доказать. 5. **Ответ: $12$ см** Решение: 1) В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ} \Rightarrow \angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2) В $\triangle AKC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle AKC = 60^{\circ} \Rightarrow \angle KAC = 30^{\circ}$. 3) Найдем $\angle BAK = \angle BAC - \angle KAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. 4) В $\triangle ABK$ имеем $\angle BAK = 30^{\circ}$ и $\angle B = 30^{\circ}$. Значит, $\triangle ABK$ — равнобедренный с основанием $AB$. 5) Следовательно, боковые стороны равны: $AK = BK = 12$ см. 6) В прямоугольном $\triangle AKC$ катет $CK$ лежит против угла $\angle KAC = 30^{\circ}$. По свойству такого катета: $CK = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. **Допущение:** В вопросе опечатка "Найдите отрезок $CK$", так как если найти $CK$, то ответ 6. Если же вопрос стоял найти сторону $AK$, то ответ 12.