Вариант 1. № 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

### Вариант 1 **№ 1.** Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 1. $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ — сумма двух углов при основании. 2. $128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$ — каждый угол при основании. **Ответ: $64^{\circ}, 64^{\circ}$.** **№ 2.** На рисунке 50 прямые $AB$ и $CD$ пересекаются секущими $AD$ и $MF$. Заметим, что внутренние накрест лежащие углы при пересечении прямых $AD$ и $MF$ секущей $AB$ (или $CD$) не дают прямой информации о параллельности $AC$ и $MF$. Однако, угол $DCE$ является смежным с углом в $105^{\circ}$, если предположить, что $CD \parallel EF$ (согласно обозначениям углов). Допущение: прямые $AB$ и $MF$ параллельны, так как накрест лежащие углы равны $43^{\circ}$. Тогда $\angle DCE$ и угол $105^{\circ}$ — односторонние при $CD \parallel EF$. Если $CD \parallel EF$, то $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. **Ответ: $75^{\circ}$.** **№ 3.** Рассмотрим треугольник $ABC$ на рисунке 51. 1. В треугольнике $ADE$: $\angle AED = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 10^{\circ}) = 142^{\circ}$. 2. $\angle FEB = \angle AED = 142^{\circ}$ (вертикальные). 3. В треугольнике $ABC$ сумма углов $180^{\circ}$. Угол $A = 28^{\circ}$. Угол $B = 72^{\circ}$. 4. $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$. **Ответ: $80^{\circ}$.** **№ 4.** Дано: $AB \parallel CD$, $BO = CO$. Доказать: $AB = CD$. Доказательство: 1. Рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$. 2. $BO = CO$ по условию. 3. $\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные. 4. $\angle ABO = \angle DCO$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BC$. 5. Следовательно, $\triangle ABO = \triangle DCO$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак равенства треугольников). 6. В равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит $AB = CD$. Что и требовалось доказать. **№ 5.** 1. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 60^{\circ}$, значит $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2. Рассмотрим $\triangle AKC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle AKC = 60^{\circ}$, значит $\angle KAC = 30^{\circ}$. 3. Тогда $\angle BAK = \angle BAC - \angle KAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. 4. В $\triangle ABK$ два угла равны ($\angle B = 30^{\circ}$ и $\angle BAK = 30^{\circ}$), значит $\triangle ABK$ — равнобедренный, $AK = BK = 12$ см. 5. В прямоугольном $\triangle AKC$ против угла $\angle KAC = 30^{\circ}$ лежит катет $CK$. По свойству: $CK = \frac{1}{2} AK$. 6. $CK = 12 : 2 = 6$ см. **Ответ: 6 см.**