Вариант 1. 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

1. **Ответ: 64°, 64°** Сумма углов в треугольнике равна 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при основании равен $x$. $52^{\circ} + 2x = 180^{\circ}$ $2x = 180^{\circ} - 52^{\circ}$ $2x = 128^{\circ}$ $x = 64^{\circ}$ 2. **Ответ: 75°** Рассмотрим прямые $AD$ и $MF$ и секущую $BK$. На рисунке 50 накрест лежащие углы равны по 43°, значит $AD \parallel MF$. Углы $DCE$ и $CEF$ — односторонние при параллельных прямых $AD$, $MF$ и секущей $CE$. Их сумма равна 180°. $\angle DCE + 105^{\circ} = 180^{\circ}$ $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$ 3. **Ответ: 70°** Рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $A$ состоит из двух углов: $\angle A = 28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$. В треугольнике $ABD$ внешний угол $\angle BDF$ (или $\angle BDC$, если рассматривать прямую) не задан явно, но мы можем найти угол $B$ треугольника $ABC$. Из рисунка 51 видно, что $\angle B = 72^{\circ}$ (вероятно, имеется в виду весь угол при вершине $B$ треугольника $ABC$). Тогда $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. 4. **Доказательство:** Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$: 1) $BO = CO$ (по условию); 2) $\angle AOB = ∠ DOC$ (как вертикальные); 3) Так как $AB \parallel CD$, то $\angle ABO = ∠ DCO$ (как накрест лежащие при секущей $BC$). Следовательно, $\triangle AOB = \triangle DOC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. 5. **Ответ: 6 см** В $\triangle ABC$ ($∠ C = 90^{\circ}$): $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. В $\triangle AKC$: $\angle ACK = 90^{\circ}$, $\angle AKC = 60^{\circ}$, значит $\angle KAC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle ABK$. $\angle KAB = \angle CAB - \angle KAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. Так как $\angle KAB = \angle KBA = 30^{\circ}$, то $\triangle ABK$ — равнобедренный, $AK = BK = 12$ см. В прямоугольном $\triangle AKC$ катет $CK$ лежит против угла $\angle KAC = 30^{\circ}$. По свойству такого катета: $CK = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.