№ 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

**№ 1. Ответ: 64°, 64°.** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ (сумма углов при основании). 2) $128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. **№ 2. Ответ: 75°.** 1) Прямые $AB$ и $MK$ параллельны, так как накрест лежащие углы равны по $43^{\circ}$ (из рисунка 50). 2) Угол $DCE$ и угол $CEK$ — односторонние углы при параллельных прямых $CD$ (продолжение $AB$) и $EF$. Однако, по рисунку видно, что $CD \parallel MF$. 3) Угол $CEK = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$ (как смежный). 4) Угол $DCE = \angle CEK = 75^{\circ}$ (как накрест лежащие при $AB \parallel MK$). **№ 3. Ответ: 70°.** 1) Рассмотрим $\triangle ADE$: $\angle AED = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 10^{\circ}) = 142^{\circ}$. 2) $\angle BEF = \angle AED = 142^{\circ}$ (вертикальные). 3) Рассмотрим $\triangle BEF$: $\angle BFE = 180^{\circ} - (142^{\circ} + 72^{\circ})$ — невозможно, сумма больше $180^{\circ}$. **Допущение:** Вероятно, на рисунке 51 угол $72^{\circ}$ — это внешний угол или сумма углов. Пересчитаем через внешний угол $\triangle ABD$: $\angle BDC = 28^{\circ} + 10^{\circ} + \dots$ Недостаточно четких данных на рис. 51 для однозначного решения без трактовки всех дуг. Если рассматривать $\triangle ABC$, где $\angle A = 28^{\circ}$, $\angle B = 10^{\circ} + 72^{\circ} = 82^{\circ}$, тогда $\angle C = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 82^{\circ}) = 70^{\circ}$. **№ 4. Доказательство:** 1) $\angle OAB = \angle ODC$ и $\angle OBA = \angle OCD$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущих $AD$ и $BC$. 2) По условию $BO = CO$. 3) $\triangle ABO = \triangle DCO$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак: $BO=CO$, $\angle OBA=\angle OCD$, $\angle AOB=\angle DOC$ как вертикальные). 4) Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. Что и требовалось доказать. **№ 5. Ответ: 6 см.** 1) В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2) В $\triangle AKC$: $\angle KAC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 3) Тогда $\angle BAK = \angle BAC - \angle KAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. 4) В $\triangle ABK$ углы при основании $AB$ равны ($\angle BAK = \angle B = 30^{\circ}$), значит $\triangle ABK$ — равнобедренный, $AK = BK = 12$ см. 5) В прямоугольном $\triangle AKC$ против угла $\angle KAC = 30^{\circ}$ лежит катет $SC$, равный половине гипотенузы $AK$: $CK = 12 : 2 = 6$ см.