№ 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

№ 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ — сумма двух углов при основании. 2) $128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. **Ответ: 64^{\circ}, 64^{\circ}**. № 2. На рисунке 50 прямые $AB$ и $MF$ пересечены секущими. 1) $\angle ABK = \angle MK B = 43^{\circ}$. Эти углы являются накрест лежащими. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны ($AD \parallel MF$). 2) Углы $DCE$ и $CEF$ — односторонние при параллельных прямых $AD, MF$ и секущей $CF$. Их сумма равна $180^{\circ}$. 3) $\angle DCE = 180^{\circ} - \angle CEF = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. **Ответ: 75^{\circ}**. № 3. Рассмотрим треугольник $ABC$ на рисунке 51. 1) Найдём $\angle B$: $\angle B = 72^{\circ}$ (по рисунку). 2) Найдём $\angle A$: он состоит из двух частей, $\angle A = 28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$. 3) Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. **Ответ: 70^{\circ}**. № 4. Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$ (рис. 52). 1) $BO = CO$ (по условию). 2) $\angle AOB = \angle DOC$ (как вертикальные). 3) Так как $AB \parallel CD$, то $\angle OBA = \angle OCD$ (как накрест лежащие при секущей $BC$). 4) $\triangle AOB = \triangle DOC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак равенства треугольников). 5) В равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит $AB = CD$. Что и требовалось доказать. № 5. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ} \implies \angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 1) Рассмотрим $\triangle AKC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle AKC = 60^{\circ} \implies \angle KAC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2) Тогда $\angle BAK = \angle BAC - \angle KAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle ABK$ углы при основании $AB$ равны ($\angle BAK = \angle B = 30^{\circ}$), значит $\triangle ABK$ — равнобедренный, и $AK = BK = 12$ см. 4) В прямоугольном $\triangle AKC$ против угла $\angle KAC = 30^{\circ}$ лежит катет $CK$, равный половине гипотенузы $AK$. 5) $CK = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. **Ответ: 6 см**.