Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

1. **Ответ: 64°, 64°** Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при основании равен $x$. $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ (сумма двух углов при основании). $x = 128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. 2. **Ответ: 75°** По рисунку 50: прямые $AD$ и $MF$ параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей $BK$ равны ($43^{\circ} = 43^{\circ}$). Угол $\angle CEF = 105^{\circ}$. Угол $\angle DCE$ и $\angle CEF$ — односторонние при параллельных прямых $CD$ и $EF$ и секущей $CE$. Сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$. $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. 3. **Ответ: 42°** Рассмотрим треугольник $ABC$ на рис. 51. $\angle A = \angle EAD + \angle DAF = 28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$. $\angle B = 72^{\circ} - \angle FBC$. Из рисунка видно, что $\angle B$ обозначен как $100^{\circ}$ (внешний или сумма), но вероятнее всего $\angle B = 100^{\circ}$ — это сумма углов при вершине $B$, либо просто дано $\angle B = 100^{\circ}$ (так как $72^{\circ}$ это часть). Допущение: $\angle B = 100^{\circ}$. Тогда $\angle C = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 100^{\circ}) = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$. 4. **Доказательство:** Рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$: 1) $BO = CO$ (по условию). 2) $\angle AOB = \angle DOC$ (как вертикальные). 3) $\angle ABO = \angle DCO$ (как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BC$). Следовательно, $\triangle ABO = \triangle DCO$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. Что и требовалось доказать. 5. **Ответ: 6 см** В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ} \Rightarrow \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle ABK$. Нам известно $BK = 12$ см. В $\triangle AKC$ (прямоугольном): $\angle KAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Тогда в $\triangle ABK$: $\angle BAK = \angle A - \angle KAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. Так как $\angle BAK = \angle B = 30^{\circ}$, то $\triangle ABK$ — равнобедренный, $AK = BK = 12$ см. В прямоугольном $\triangle AKC$ катет $SC$ лежит против угла $\angle KAC = 30^{\circ}$. По свойству катета, лежащего против угла $30^{\circ}$: $CK = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.