Вариант 1. № 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

### Вариант 1 **№ 1.** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1. Найдём сумму углов при основании: $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$. 2. Найдём один угол при основании: $128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. **Ответ: $64^{\circ}$ и $64^{\circ}$.** **№ 2.** Рассмотрим рисунок 50. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются секущими $MK$ и $EF$. 1. Угол $\angle AMK = 43^{\circ}$ и угол $\angle CEF = 105^{\circ}$. 2. Угол $\angle DCE$ является смежным с углом $\angle CEF$, если рассматривать прямую $CD$. Однако, судя по чертежу и обозначениям, нужно найти угол между секущими или проверить параллельность. 3. Если $AB \parallel MK$, то накрест лежащие углы равны. Но в условии не сказано о параллельности прямых. **Допущение:** Прямые $AB$ и $MK$ параллельны. Тогда накрест лежащий угол $\angle MAB = 43^{\circ}$. 4. В треугольнике $ACE$ (если $A, C, E$ образуют его): угол $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$ (как смежный). **Ответ: $75^{\circ}$.** **№ 3.** Рассмотрим треугольник $ABC$ на рис. 51. 1. Внешний угол при вершине $B$ равен $72^{\circ}$. Значит, смежный с ним внутренний угол $\angle ABC = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$. 2. Угол $\angle A$ состоит из двух частей: $28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$. 3. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ}$. 4. $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle ABC) = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 108^{\circ}) = 180^{\circ} - 146^{\circ} = 34^{\circ}$. **Ответ: $34^{\circ}$.** **№ 4.** **Дано:** $AB \parallel CD$, $BO = CO$. **Доказать:** $AB = CD$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$. 2. $BO = CO$ по условию. 3. $\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные. 4. $\angle ABO = \angle DCO$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AB \parallel CD$ и секущей $BC$. 5. Следовательно, $\triangle ABO = \triangle DCO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = CD$. Что и требовалось доказать. **№ 5.** 1. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$. Тогда $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 2. В прямоугольном $\triangle ABC$ катет $AC$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $AC = \frac{1}{2} AB$. 3. В $\triangle AKC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle AKC = 60^{\circ}$. Тогда $\angle KAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 4. В прямоугольном $\triangle AKC$ катет $KC$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $KC = \frac{1}{2} AK$. 5. В $\triangle ABK$: $\angle B = 30^{\circ}$, $\angle BAK = \angle BAC - \angle KAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. 6. Так как $\angle B = \angle BAK = 30^{\circ}$, то $\triangle ABK$ — равнобедренный, следовательно $AK = BK = 12$ см. 7. Из пункта 4: $CK = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. **Ответ: $6$ см.**