Вариант 1. № 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

№ 1. 1) Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. 2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 3) $(180^{\circ} - 52^{\circ}) : 2 = 128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. **Ответ: 64^{\circ}, 64^{\circ}.** № 2. 1) Углы $ABK$ и $MKB$ — накрест лежащие. Так как они оба равны $45^{\circ}$, прямые $AB$ и $MK$ параллельны. 2) Углы $DCE$ и $CEF$ — накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ (содержит $CD$) и $MK$ (содержит $EF$) и секущей $CE$. 3) По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: $\angle DCE = \angle CEF = 105^{\circ}$. **Ответ: 105^{\circ}.** № 3. 1) Рассмотрим треугольник $LDF$. Угол $ELF$ — внешний угол треугольника при вершине $L$. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ELF = \angle LDF + ∠ DFL$. Отсюда $72^{\circ} = \angle LDF + 28^{\circ}$, значит $\angle LDF = 72^{\circ} - 28^{\circ} = 44^{\circ}$. 2) В треугольнике $CDF$ угол $C = 180^{\circ} - \angle CDF - \angle CFD = 180^{\circ} - 44^{\circ} - 28^{\circ} = 108^{\circ}$. **Ответ: 108^{\circ}.** № 4. 1) Рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$. По условию $BO = CO$. 2) $\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные. 3) $\angle OBA = \angle OCD$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BC$. 4) Значит, $\triangle ABO = \triangle DCO$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. Что и требовалось доказать. № 5. 1) В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 2) В $\triangle KBC$: $\angle KCB = 90^{\circ}$, $\angle B = 30^{\circ}$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника $90^{\circ}$, значит $\angle BKC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 3) В прямоугольном $\triangle KBC$ катет $CK$ лежит против угла в $30^{\circ}$ ($ \angle B = 30^{\circ}$), следовательно, он равен половине гипотенузы $BK$. 4) $CK = BK : 2 = 12 : 2 = 6$ см. **Ответ: 6 см.**