Вариант 1. № 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника. № 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50). № 3. Какова градусная мера угла C, изображённого на рисунке 51? № 4. Докажите, что AB = CD (рис. 52), если известно, что AB||CD и BO = CO. № 5. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили точку K такую, что ∠AKC = 60°. Найдите отрезок CK, если BK = 12 см.

### Вариант 1 **№ 1.** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1. Найдём сумму углов при основании: $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$. 2. Найдём каждый угол: $128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. **Ответ: 64$^{\circ}$ и 64$^{\circ}$.** **№ 2.** Рассмотрим рисунок 50. Прямые $AD$ и $MF$ пересекаются секущими $BK$ и $CE$. 1. Углы $\angle ABK$ и $\angle MK B$ равны $43^{\circ}$ и являются накрест лежащими при прямых $AD, MF$ и секущей $BK$. Раз накрест лежащие углы равны, то $AD \parallel MF$. 2. Углы $\angle DCE$ и $\angle CEF$ являются односторонними при параллельных прямых $AD, MF$ и секущей $CE$. Их сумма равна $180^{\circ}$. 3. $\angle DCE = 180^{\circ} - \angle CEF = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. **Ответ: 75$^{\circ}$.** **№ 3.** Рассмотрим треугольник $ABD$ на рисунке 51. 1. Внешний угол треугольника $\angle BEF$ равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: $\angle BDE + \angle DBE$. Но данных недостаточно. 2. Используем сумму углов треугольника $ABC$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$. $\angle A = 28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$. $\angle B = 72^{\circ}$. 3. $\angle C = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. **Ответ: 70$^{\circ}$.** **№ 4.** Рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$ (рис. 52): 1. $BO = CO$ (по условию). 2. $\angle AOB = \angle DOC$ (как вертикальные). 3. $\angle ABO = \angle DCO$ (как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BC$). 4. Значит, $\triangle ABO = \triangle DCO$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. **Что и требовалось доказать.** **№ 5.** 1. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2. В $\triangle AKC$: $\angle KAC = \angle A - \angle BAK$. Но нам дан $\angle AKC = 60^{\circ}$. Тогда $\angle KAC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 3. Рассмотрим $\triangle ABK$: $\angle B = 30^{\circ}$. Найдём $\angle BAK = \angle A - \angle KAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. 4. Так как в $\triangle ABK$ углы при основании $AB$ равны ($\angle B = \angle BAK = 30^{\circ}$), то треугольник равнобедренный, и $AK = BK = 12$ см. 5. В прямоугольном $\triangle AKC$ катет $CK$ лежит против угла $\angle KAC = 30^{\circ}$. По свойству такого катета: $CK = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. **Ответ: 6 см.**