Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $(180^{\circ} - 52^{\circ}) : 2 = 128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. **Ответ: $64^{\circ}$ и $64^{\circ}$**. 2. На рис. 50 прямые $AB$ и $MF$ параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей $BK$ равны ($43^{\circ} = 43^{\circ}$). Угол $DCE$ и угол $CEF$ ($105^{\circ}$) — внутренние односторонние при параллельных прямых $AD$ и $MF$ и секущей $CE$. $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. **Ответ: $75^{\circ}$**. 3. Рассмотрим треугольник $ABD$: $\angle ADB = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 10^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. Угол $C$ можно найти через внешний угол треугольника или сумму углов. На чертеже недостаточно данных о положении точек $E, F$ для точного вычисления без допущений о подобии или параллельности. Если предположить, что рассматривается большой треугольник $ABC$, то данных о $\angle B$ целиком нет. **Допущение: Требуется найти угол в треугольнике $ABC$, где $\angle A = 28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$ и $\angle B = 72^{\circ}$.** $\angle C = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. **Ответ: $70^{\circ}$**. 4. Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$: 1) $BO = CO$ (по условию); 2) $\angle AOB = ∠ DOC$ (как вертикальные); 3) $\angle ABO = ∠ DCO$ (как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BC$). Следовательно, $\triangle AOB = \triangle DOC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. Что и требовалось доказать. 5. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 60^{\circ} \Rightarrow \angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle ABC$ катет $AC$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $AC = \frac{1}{2} AB$. Рассмотрим $\triangle AKC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle AKC = 60^{\circ} \Rightarrow \angle KAC = 30^{\circ}$. Тогда $CK$ лежит против угла $30^{\circ}$ в $\triangle AKC$, значит $CK = \frac{1}{2} AK$. Без дополнительных данных о длине сторон $AC$ или $AB$ (дано только $BK = 12$ см), воспользуемся свойством: в $\triangle ABK$ имеем $\angle B = 30^{\circ}$. Если $AK$ — биссектриса (так как $\angle KAC = 30^{\circ}$ и $\angle A = 60^{\circ}$), то $\triangle ABK$ равнобедренный ($AK = BK = 12$ см). Тогда в $\triangle AKC$: $CK = AK \cdot \sin(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см. **Ответ: 6 см**.