Найдите первообразную для следующих функций: A) f(x)=1/7; Б) f(x)=x^9; В) f(x)=1/x^6...

1. Найдите первообразную для следующих функций: А) $F(x) = \frac{1}{7}x + C$ Решение: первообразная константы $k$ есть $kx$. Б) $F(x) = \frac{x^{10}}{10} + C$ Решение: по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. В) $F(x) = -\frac{1}{5x^5} + C$ Решение: $f(x) = x^{-6}$, тогда $F(x) = \frac{x^{-5}}{-5} = -\frac{1}{5x^5}$. Г) $F(x) = \frac{x^6}{6} + 2x^4 - \sqrt{5}x + C$ Решение: $\frac{x^6}{6} + \frac{8x^4}{4} - \sqrt{5}x = \frac{x^6}{6} + 2x^4 - \sqrt{5}x$. Д) $F(x) = 4x - \cos x + C$ Решение: первообразная $4$ есть $4x$, а для $\sin x$ это $-\cos x$. Е) $F(x) = -\frac{(2 - 7x)^5}{35} + C$ Решение: используем формулу для сложной функции $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$. Здесь $a = -7$, $n = 4$: $\frac{(2-7x)^5}{-7 \cdot 5}$. Ж) $F(x) = -\frac{1}{6} \sin(6x) + C$ Решение: по формулам приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - 6x) = \cos(6x)$. Первообразная $\cos(kx)$ есть $\frac{1}{k}\sin(kx)$. 2. Найдите первообразную, проходящую через точку $M$: А) $F(x) = x^4 + 5x^2 - 9x - 30$ Решение: 1) Общий вид: $F(x) = \frac{4x^4}{4} + \frac{10x^2}{2} - 9x + C = x^4 + 5x^2 - 9x + C$. 2) Подставим $M(3; 15)$: $15 = 3^4 + 5 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + C$; $15 = 81 + 45 - 27 + C$; $15 = 99 + C \Rightarrow C = -84$. **Допущение:** В расчетах $15 = 99 + C$ дает $C = -84$. Перепроверим: $81+45-27 = 126-27 = 99$. Да, $F(x) = x^4 + 5x^2 - 9x - 84$. Б) $F(x) = 6 \text{tg} x - 13$ Решение: 1) Общий вид: $F(x) = 6 \text{tg} x + C$. 2) Подставим $M(\frac{\pi}{4}; -7)$: $-7 = 6 \text{tg}(\frac{\pi}{4}) + C$; $-7 = 6 \cdot 1 + C$; $C = -13$.