Самостоятельная работа по теме «Первообразная», Вариант 4. Задание 1: Найдите первообразную для следующих функций. Задание 2: Найдите первообразную для следующих функций, проходящую через точку M.

1. Найдем первообразные функций $F(x)$, используя таблицу первообразных и правила интегрирования: А) $f(x) = 132$ Ответ: $F(x) = 132x + C$ Б) $f(x) = x^{11}$ Ответ: $F(x) = \frac{x^{12}}{12} + C$ В) $f(x) = \frac{1}{x^8} = x^{-8}$ Ответ: $F(x) = \frac{x^{-7}}{-7} + C = -\frac{1}{7x^7} + C$ Г) $f(x) = -2x + 6x^9 - 0,5$ Ответ: $F(x) = -x^2 + 0,6x^{10} - 0,5x + C$ Д) $f(x) = \frac{2}{5} + \cos x$ Ответ: $F(x) = 0,4x + \sin x + C$ Е) $f(x) = (\sqrt{2} - 6x)^5$ Используем правило $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$: Ответ: $F(x) = \frac{(\sqrt{2} - 6x)^6}{-6 \cdot 6} + C = -\frac{(\sqrt{2} - 6x)^6}{36} + C$ Ж) $f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + C$ 2. Найдем первообразную, график которой проходит через точку $M$: А) $f(x) = 7 - 6x^2 + 12x^3, M(2; -25)$ 1. Общий вид: $F(x) = 7x - 2x^3 + 3x^4 + C$ 2. Подставим координаты точки $M$: $-25 = 7(2) - 2(2^3) + 3(2^4) + C$ $-25 = 14 - 16 + 48 + C$ $-25 = 46 + C \Rightarrow C = -71$ Ответ: $F(x) = 7x - 2x^3 + 3x^4 - 71$ Б) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}, M(\frac{3\pi}{4}; -5)$ 1. Общий вид: $F(x) = -\text{ctg } x + C$ 2. Подставим координаты точки $M$: $-5 = -\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) + C$ $-5 = -(-1) + C \Rightarrow -5 = 1 + C \Rightarrow C = -6$ Ответ: $F(x) = -\text{ctg } x - 6$