Найдите первообразную для следующих функций. Найдите первообразную для следующих функций, проходящую через точку M.

1. Найдите первообразную для следующих функций: А) $F(x) = \frac{1}{7}x + C$ Б) $F(x) = \frac{x^{10}}{10} + C$ В) Перепишем как $f(x) = x^{-6}$, тогда $F(x) = \frac{x^{-5}}{-5} + C = -\frac{1}{5x^5} + C$ Г) $F(x) = \frac{x^6}{6} + 8 \cdot \frac{x^4}{4} - \sqrt{5}x + C = \frac{x^6}{6} + 2x^4 - \sqrt{5}x + C$ Д) $F(x) = 4x - \cos x + C$ Е) Используем формулу для $(kx+b)^n$: $F(x) = \frac{(2-7x)^5}{5 \cdot (-7)} + C = -\frac{(2-7x)^5}{35} + C$ Ж) По формулам приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - 6x) = \cos 6x$. Тогда $F(x) = \frac{1}{6}\sin 6x + C$ 2. Найдите первообразную для следующих функций, проходящую через точку $M$: А) $f(x) = 4x^3 + 10x - 9, M(3; 15)$ 1. Находим общий вид: $F(x) = x^4 + 5x^2 - 9x + C$ 2. Подставляем координаты точки $M(3; 15)$: $15 = 3^4 + 5 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + C$ $15 = 81 + 45 - 27 + C$ $15 = 99 + C \Rightarrow C = -84$ Ответ: $F(x) = x^4 + 5x^2 - 9x - 84$ Б) $f(x) = \frac{6}{\cos^2 x}, M(\frac{\pi}{4}; -7)$ 1. Находим общий вид: $F(x) = 6\text{tg } x + C$ 2. Подставляем координаты точки $M(\frac{\pi}{4}; -7)$: $-7 = 6\text{tg } \frac{\pi}{4} + C$ $-7 = 6 \cdot 1 + C \Rightarrow C = -13$ Ответ: $F(x) = 6\text{tg } x - 13$