Найти площадь фигуры, ограниченной прямой y = 3 - 2x и графиком функции y = x² + 3x - 3.

Привет! Давай построим графики и найдем площади фигур для каждого задания. **Задание 4** Найти площадь фигуры, ограниченной прямой $y = 3 - 2x$ и параболой $y = x^2 + 3x - 3$. 1. Найдем точки пересечения: $x^2 + 3x - 3 = 3 - 2x$ $x^2 + 5x - 6 = 0$ $x_1 = -6, x_2 = 1$ 2. Вычислим интеграл: $S = \int_{-6}^{1} (3 - 2x - (x^2 + 3x - 3)) dx = \int_{-6}^{1} (-x^2 - 5x + 6) dx = [-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x]_{-6}^{1} = (-\frac{1}{3} - 2,5 + 6) - (72 - 90 - 36) = 3,167 + 54 = 57,167$ **Ответ: 57,167 (или $343/6$)** :::div .chart-container @chart-4::: **Задание 5** Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -4(x + 2)$, $y = (x + 1)^2$, $y = 0$. 1. Точки пересечения с осью $OX$ ($y=0$): $x = -2$ и $x = -1$. 2. Точка пересечения графиков между собой: $-4x - 8 = x^2 + 2x + 1$ $x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 0 \Rightarrow x = -3$. 3. Фигура состоит из двух частей: от -3 до -2 под прямой и от -3 до -1 под параболой (с учетом $y=0$ левее -2 и правее -1). Однако, по условию $y=0$ является нижней границей. Точка пересечения $(-3, 4)$ находится выше оси. Фигура ограничена $x=-3$ слева. $S = \int_{-3}^{-2} (-4x - 8) dx + \int_{-2}^{-1} (x+1)^2 dx = [-2x^2 - 8x]_{-3}^{-2} + [\frac{(x+1)^3}{3}]_{-2}^{-1} = (-8 + 16) - (-18 + 24) + (0 - (-\frac{1}{3})) = 8 - 6 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}$ **Ответ: 2,333 (или $7/3$)** :::div .chart-container @chart-5::: **Задание 6** Найти площадь фигуры, ограниченной $y = x^2 + 11$ и касательными из точки $A(0, 2)$. 1. Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$. $f'(x) = 2x$. $2 = x_0^2 + 11 + 2x_0(0 - x_0) \Rightarrow 2 = x_0^2 + 11 - 2x_0^2 \Rightarrow x_0^2 = 9 \Rightarrow x_0 = \pm 3$. 2. Касательные: $y = 6x + 2$ и $y = -6x + 2$. 3. Площадь: $S = 2 \cdot \int_{0}^{3} (x^2 + 11 - (6x + 2)) dx = 2 \cdot [\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x]_0^3 = 2 \cdot (9 - 27 + 27) = 18$ **Ответ: 18** :::div .chart-container @chart-6::: **Задание 7** Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат, параболой $y = x^2 + 3$ и касательной в точке $A(2, 7)$. 1. Касательная: $f'(x) = 2x, f'(2) = 4$. $y = 7 + 4(x - 2) = 4x - 1$. 2. Фигура ограничена $x=0$, $y=0$, $y=x^2+3$ и $y=4x-1$. Заметим, что касательная пересекает $OX$ в $x = 0,25$. $S = \int_{0}^{2} (x^2 + 3) dx - S_{trap}$ (или разбить на части). Удобнее: $\int_{0}^{2} (x^2 + 3) dx - \int_{0,25}^{2} (4x-1) dx$. $S = [\frac{x^3}{3} + 3x]_0^2 - [2x^2 - x]_{0,25}^2 = (\frac{8}{3} + 6) - ( (8-2) - (0,125 - 0,25) ) = 8,667 - 6,125 = 2,542$ **Ответ: 2,542 (или $61/24$)** :::div .chart-container @chart-7:::