Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = 1/2x², y = 0, x = 3; б) y = -x² - 2x, y = 0;

Question

Вопрос:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = 1/2x², y = 0, x = 3; б) y = -x² - 2x, y = 0;

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями, используем определенный интеграл. а) $y = \frac{1}{2}x^2$, $y = 0$, $x = 3$. Фигура ограничена параболой, осью $Ox$ ($y=0$) и вертикальной прямой $x=3$. Точка пересечения параболы с осью $Ox$: $\frac{1}{2}x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Пределы интегрирования от 0 до 3. $S = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \left. \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \right|_0^3 = \left. \frac{x^3}{6} \right|_0^3 = \frac{3^3}{6} - 0 = \frac{27}{6} = 4,5$. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ: 4,5.** б) $y = -x^2 - 2x$, $y = 0$. Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$: $-x^2 - 2x = 0 \Rightarrow -x(x + 2) = 0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$. Это пределы интегрирования. $S = \int_{-2}^{0} (-x^2 - 2x) dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - x^2 \right) \right|_{-2}^0 = (0 - 0) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 \right) = -\left( \frac{8}{3} - 4 \right) = -\left( \frac{8 - 12}{3} \right) = -\left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. :::div .chart-container @chart-2::: **Ответ: 1\frac{1}{3}.**

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = 1/2x², y = 0, x = 3; б) y = -x² - 2x, y = 0;

Ответ ассистента

Другие решения