Вариант 2. 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла CFN (рис. 53). 3. Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 54?

**1. Ответ: 104°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, два угла по $38^{\circ}$. Сумма всех углов треугольника равна $180^{\circ}$. Угол при вершине = $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **2. Ответ: 44°** 1) Рассмотрим прямые $MN$ и $AC$ и секущую $KD$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle MKD + \angle KDA = 73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, $MN \parallel AC$. 2) Так как $MN \parallel AC$, то накрест лежащие углы при секущей $FC$ равны. Значит, $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. **3. Ответ: 36°** 1) В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ} + \angle EBC)$. По рисунку $\angle B$ состоит из двух частей, но нам достаточно рассмотреть $\triangle FEC$. 2) $\angle BEC$ является внешним углом для $\triangle ABE$, но данных недостаточно для прямого пути. Воспользуемся свойством: сумма углов треугольника $180^{\circ}$. 3) В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 36^{\circ} = 84^{\circ}$. 4) Углы $\angle BEF$ и $\angle FEC$ смежные? Нет. Рассмотрим $\triangle FEC$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle C - \angle FEC = 180^{\circ} - 84^{\circ} - (180^{\circ} - 24^{\circ}) = 24^{\circ} - 84^{\circ}$ (невозможно). **Допущение:** На рисунке 54 точка $E$ лежит на $BC$, тогда $\angle BCE = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 84^{\circ}$. В $\triangle CEF$ внешний угол $\angle BEF = 24^{\circ}$ быть не может. Вероятно, $24^{\circ}$ — это угол $\angle EFC$ или $\angle CEF$. Если $\angle FEC = 120^{\circ}$ (смежный с $60^{\circ}$), то расчеты меняются. Примем стандартную интерпретацию суммы углов: $\angle F$ в $\triangle ABF$ (где $F$ — точка пересечения): $\angle F = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (36^{\circ} + \text{часть } B) - \dots$ Без четких обозначений всех углов: $\angle F = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (36^{\circ} + 24^{\circ}) = 60^{\circ}$ (если $24^{\circ}$ — это $\angle CBE$). **Уточнение:** Если рассматривать $\triangle ABF$, то $\angle F = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABF = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (36^{\circ} + 24^{\circ} + \dots)$. Если $\angle B = 36^{\circ} + 24^{\circ} = 60^{\circ}$, то $\angle F = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$. **4. Доказательство:** 1) Проведем диагональ $BD$ (или заметим, что $ABCD$ — параллелограмм, так как противоположные стороны параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$). 2) В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, $\angle A = \angle C$. **5. Ответ: 30 см** 1) В прямоугольном $\triangle MNF$ ($\angle N = 90^{\circ}$): $\angle M = 30^{\circ}$, значит $\angle MFN = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) $FD$ — биссектриса $\angle MFN$, значит $\angle NFD = \angle DFM = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle NFD$ (прямоугольном): катет $ND$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $ND = FD / 2 = 20 / 2 = 10$ см. По теореме Пифагора $NF = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см. 4) В $\triangle MNF$: катет $NF$ лежит против угла $30^{\circ}$ ($\angle M$). Значит, гипотенуза $MF = 2 \cdot NF = 20\sqrt{3}$ см. 5) Катет $MN = MF \cdot \cos(30^{\circ}) = 20\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) = 10 \cdot 3 = 30$ см.