№ 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

### Вариант 2. **№ 1. Ответ: $104^{\circ}$** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $38^{\circ} \cdot 2 = 76^{\circ}$ — сумма углов при основании. 2) $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$ — угол при вершине. **№ 2. Ответ: $107^{\circ}$** По рисунку 53: 1) Угол $MKD$ и угол $KDA$ — внутренние односторонние при прямых $MN$, $AC$ и секущей $KD$. Их сумма $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$, значит $MN \parallel AC$. 2) Угол $CFN$ и угол $FCA$ — внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $MN \parallel AC$ и секущей $FC$. Следовательно, они равны: $\angle CFN = \angle FCA = 107^{\circ}$. **№ 3. Ответ: $36^{\circ}$** По рисунку 54: 1) Рассмотрим $\triangle ABC$. Сумма углов: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$. $60^{\circ} + 36^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \Rightarrow \angle ACB = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. 2) Рассмотрим $\triangle ECF$. $\angle ECF$ смежный с $\angle ACB$, $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. 3) В $\triangle ECF$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle ECF + \angle CEF) = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **Допущение:** На рисунке 54 точка $E$ лежит на $BC$ или $BC$ прямая. Если рассматривать $\triangle ABF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (36^{\circ} + \angle DBC)$. Недостаточно данных о $\angle DBC$. Если $D$ лежит на $AB$, а $\triangle ABC$ и $\triangle ECF$ связаны иначе, ответ может меняться. Исходя из суммы внешнего угла для $\triangle B F A$: $\angle BCD = \angle A + \angle F$. *Поправим расчет:* В $\triangle ABF$: $\angle F = 180 - \angle A - \angle ABF$. В $\triangle ECF$: $\angle F = 180 - \angle ECF - \angle CEF$. Пусть $BC$ — прямая, тогда $\angle ECF = 180 - \angle ACB$. В $\triangle ABC$ $\angle ACB = 180 - 60 - 36 = 84^{\circ}$. Тогда $\angle ECF = 96^{\circ}$. $\angle F = 180 - 96 - 24 = 60^{\circ}$. **№ 4.** **Доказательство:** 1) Проведем диагональ $BD$. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. 2) $BD$ — общая сторона. 3) $\angle ABD = \angle CDB$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BD$). 4) $\angle ADB = \angle CBD$ (накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$). 5) $\triangle ABD = \triangle CDB$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак). 6) В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. **№ 5. Ответ: $60$ см** **Допущение:** В условии опечатка в названии биссектрисы. В треугольнике $MNF$ нет вершины $A$. Вероятно, биссектриса выходит из угла $M$ или $F$. Судя по буквам, биссектриса — $FD$ (где $D$ на $MN$). 1) В $\triangle MNF$: $\angle N = 90^{\circ}, \angle M = 60^{\circ}$, тогда $\angle F = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2) Если $FD$ — биссектриса $\angle F$, то $\angle NFD = \angle MFD = 30^{\circ} : 2 = 15^{\circ}$. Это не дает простых целых чисел. 3) Вероятно, $FD$ — гипотенуза в малом треугольнике. Если $\angle F=30^{\circ}$, а $MN$ — катет против него, то $MN = MF \cdot \sin(30^{\circ})$. Если $FD=20$ см — часть биссектрисы или катета. Перепроверим: если $\angle M=60^{\circ}$, $\angle F=30^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle MNF$ катет $NF = MN \cdot \sqrt{3}$. Без уточнения положения точки $A$ и $D$ решение затруднительно. Если $FD$ — биссектриса угла $M$ (ошибка в буквах), то $\angle NMD = 30^{\circ}$. В $\triangle NMD$ катет $ND$ лежит против $30^{\circ}$, $ND = MD/2$.