Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 104°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. Решение: $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. 2. **Ответ: 44°** Рассмотрим прямые $MN$ и $AC$ и секущую $KC$. Углы $\angle MKD = 73^{\circ}$ и $\angle ADK = 107^{\circ}$ являются односторонними. Так как их сумма $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$, то прямые $MN \parallel AC$. Углы $\angle CFN$ и $\angle FCA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $FC$. Следовательно, они равны. $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. 3. **Ответ: 36°** Рассмотрим $\triangle ABF$. Сумма углов в нем $180^{\circ}$. В $\triangle ABC$: $\angle B = 36^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$. Тогда внешний угол $\angle BCF = \angle A + \angle B = 60^{\circ} + 36^{\circ} = 96^{\circ}$. В $\triangle BCF$ нам известен $\angle ECF$ (это $\angle BCF = 96^{\circ}$), но проще найти угол $F$ через $\triangle ABF$ целиком, если знать все его углы. Однако по рисунку 54 видно, что $\angle A = 60^{\circ}$ и $\angle B = 36^{\circ} + \dots$ (неясно, относится ли 36 к части угла). **Допущение:** На рис. 54 $\angle B = 36^{\circ}$ и $\angle A = 60^{\circ}$ — это углы треугольника $ABF$. Тогда в $\triangle ABF$: $\angle F = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ} + 48^{\circ})$ — данных на рисунке недостаточно для однозначного вычисления без понимания всех обозначений. Если рассматривать $\triangle ABC$, где $\angle A=60^{\circ}$, $\angle B=36^{\circ}$, тогда $\angle ACB = 180 - (60+36) = 84^{\circ}$. Тогда смежный $\angle BCF = 180 - 84 = 96^{\circ}$. В $\triangle CEF$: $\angle F = 180 - (96 + 24) = 180 - 120 = 60^{\circ}$. **Докажите, что $\angle A = \angle C$ (рис. 55):** Так как $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, то четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм по определению. В параллелограмме противоположные углы равны, значит $\angle A = \angle C$. **Задача про треугольник MNF:** **Ответ: 30 см** 1. В $\triangle MNF$ (прямоугольный, $\angle N=90^{\circ}$, $\angle M=30^{\circ}$) угол $\angle F = 180 - 90 - 30 = 60^{\circ}$. 2. $FD$ — биссектриса, значит $\angle NFD = \angle MFD = 60 / 2 = 30^{\circ}$. 3. В прямоугольном $\triangle DNF$ катет $DN$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $DN = FD / 2 = 20 / 2 = 10$ см. 4. В $\triangle MDF$ углы при основании $M$ и $F$ равны ($30^{\circ}$), значит он равнобедренный: $MD = FD = 20$ см. 5. $MN = MD + DN = 20 + 10 = 30$ см.