1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 104°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$ 2. **Ответ: 113°** Рассмотрим рисунок 53: 1) Прямые $MN$ и $AC$ параллельны, так как сумма односторонних углов при секущей $KD$ равна $180^{\circ}$ ($73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$). 2) Угол $FCA$ и накрест лежащий ему угол при вершине $F$ (обозначим его $\angle MFC$) равны. $\angle MFC = 44^{\circ}$. 3) Угол $CFN$ является смежным с углом $MFC$. $\angle CFN = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$. **Допущение:** Если под $\angle CFN$ подразумевается острый угол между прямыми, то решение иное. Но по стандартной буквенной записи: $\angle CFN = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$ (если $N$ справа). Перепроверим: если рассматривать треугольник, образованный пересечением секущих, то внешний угол $\angle CFN$ равен сумме двух внутренних не смежных с ним. Угол при $K$ равен $180-107=73$. В треугольнике с углами $73$ и $44$ третий угол равен $180-(73+44)=63$. Тогда смежный $\angle CFN = 180 - 63 = 117^{\circ}$. Уточнение по чертежу: углы $73^{\circ}$ и $107^{\circ}$ — соответственные/односторонние. Так как $73+107=180$, то $MN \parallel AC$. Тогда $\angle KFC = \angle FCA = 44^{\circ}$ (накрест лежащие). Тогда $\angle CFN = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$. 3. **Ответ: 36°** Рассмотрим рис. 54: 1) В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. (Здесь $\angle B = 36^{\circ}$ — это часть угла или весь? Судя по дуге, $\angle B = 36^{\circ}$). 2) В $\triangle BCF$: $\angle BCF = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (смежный). 3) $\angle F = 180^{\circ} - (\angle CBF + \angle BCF)$. Если $\angle EBC = 24^{\circ}$, а $\angle B = 36^{\circ}$, то $\angle F = 180^{\circ} - (24^{\circ} + 120^{\circ}) = 36^{\circ}$. 4. **Доказательство:** 1) Проведем диагональ $BD$ (рис. 55). 2) Так как $AB \parallel CD$, то $\angle ABD = \angle CDB$ (накрест лежащие). 3) Так как $BC \parallel AD$, то $\angle ADB = \angle CBD$ (накрест лежащие). 4) $\triangle ABD = \triangle CDB$ по стороне и двум прилежащим углам ($BD$ — общая). 5) В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. 5. **Ответ: 30 см** 1) В прямоугольном $\triangle MNF$ ($\angle N = 90^{\circ}$): $\angle M = 30^{\circ} \Rightarrow \angle MFN = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) $FD$ — биссектриса $\angle MFN$, значит $\angle NFD = \angle DFM = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle DFM$: $\angle M = 30^{\circ}$ и $\angle DFM = 30^{\circ}$. Значит, $\triangle DFM$ — равнобедренный, $DF = DM = 20$ см. 4) В прямоугольном $\triangle DNF$: катет $DN$ лежит против угла $30^{\circ}$ ($\angle NFD$), значит $DN = FD / 2 = 20 / 2 = 10$ см. 5) $MN = MD + DN = 20 + 10 = 30$ см.