Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $180^{\circ} - 38^{\circ} \cdot 2 = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: 104°**. 2. На рис. 53 прямые $MN$ и $AC$ параллельны, так как сумма односторонних углов при секущей $KD$ равна $180^{\circ}$ ($73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$). Угол $F$ (внутренний накрест лежащий с углом $C$) равен $44^{\circ}$. Угол $CFN$ является смежным с углом $F$. $\angle CFN = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$. **Ответ: 136°**. 3. На рис. 54 в $\triangle ABC$ угол $\angle ACB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 84^{\circ}$. Угол $\angle ECF$ смежный с $\angle ACB$, значит $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. В $\triangle ECF$ сумма углов $180^{\circ}$. $\angle F = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ: 60°**. 4. Проведем диагональ $BD$. Так как $AB \parallel CD$, то $\angle ABD = \angle CDB$ (накрест лежащие). Так как $BC \parallel AD$, то $\angle CBD = \angle ADB$ (накрест лежащие). $\triangle ABD = \triangle CDB$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников: $BD$ — общая). В равных треугольниках соответствующие углы равны, значит $\angle A = \angle C$. 5. В прямоугольном $\triangle MNF$ ($\angle N = 90^{\circ}$): $\angle M = 30^{\circ}$, значит $\angle MFN = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $FD$ — биссектриса, тогда $\angle NFD = \angle DFM = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. В $\triangle NFD$ катет $ND$ лежит против угла в $30^{\circ}$, значит $ND = FD : 2 = 20 : 2 = 10$ см. В $\triangle DFM$ углы при основании $FM$ равны ($30^{\circ}$), треугольник равнобедренный, значит $MD = FD = 20$ см. $MN = MD + DN = 20 + 10 = 30$ см. **Ответ: 30 см**.