Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. 1) $38^{\circ} \cdot 2 = 76^{\circ}$ — сумма углов при основании. 2) $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$ — угол при вершине. **Ответ: $104^{\circ}$**. 2. На рис. 53 прямые $MN$ и $AC$ параллельны, так как сумма односторонних углов $\angle KDA + \angle MKD = 107^{\circ} + 73^{\circ} = 180^{\circ}$. При параллельных прямых накрест лежащие углы равны: $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. **Ответ: $44^{\circ}$**. 3. Рассмотрим треугольник $ABC$: $\angle B = 36^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$. $\angle ACB = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 60^{\circ}) = 84^{\circ}$. Углы $\angle ACB$ и $\angle ECF$ — смежные, значит $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. В треугольнике $ECF$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle ECF + \angle CEF) = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ: $60^{\circ}$**. 4. Доказательство: 1) Так как $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, то четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм (по определению). 2) Проведем диагональ $AC$. $\triangle ABC = \triangle CDA$ по второму признаку (сторона $AC$ общая, $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$ как накрест лежащие при параллельных прямых). 3) В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит $\angle B = \angle D$. Аналогично, рассматривая углы как суммы $\angle A = \angle BAC + \angle CAD$ и $\angle C = \angle BCA + \angle ACD$, получаем $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. 5. Решение: 1) В $\triangle MNF$ ($\angle N = 90^{\circ}$), если $\angle M = 30^{\circ}$, то $\angle F = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) Так как $FD$ — биссектриса, то $\angle NFD = \angle MFD = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В прямоугольном $\triangle DNF$ катет $DN$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $DN = \frac{1}{2} FD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. 4) В $\triangle MDF$ углы $\angle M = 30^{\circ}$ и $\angle MFD = 30^{\circ}$, значит треугольник равнобедренный, $MD = FD = 20$ см. 5) Катет $MN = MD + DN = 20 + 10 = 30$ см. **Ответ: 30 см**.