Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 104°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $ \begin{aligned} 1) & \text{ Углы при основании: } 38^{\circ} \text{ и } 38^{\circ}. \\ 2) & \text{ Угол при вершине: } 180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}. \end{aligned} $ 2. **Ответ: 44°** На рисунке 53 прямые $MN$ и $AD$ пересекаются секущей $KD$. $ \begin{aligned} 1) & \text{ Проверим параллельность } MN \text{ и } AD: \angle MKD = 73^{\circ}, \angle KDA = 107^{\circ}. \\ & \text{ Сумма односторонних углов: } 73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}. \text{ Значит, } MN \parallel AD. \\ 2) & \text{ При } MN \parallel AD \text{ накрест лежащие углы равны. } \angle CFN = \angle FCD = 44^{\circ}. \end{aligned} $ 3. **Ответ: 36°** Рассмотрим рисунок 54. $ \begin{aligned} 1) & \text{ В } \triangle ABC: \angle C = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}. \\ 2) & \angle BCF \text{ и } \angle BCA \text{ смежные, } \angle BCF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}. \\ 3) & \text{ В } \triangle BCF: \angle F = 180^{\circ} - (\angle B + \angle BCF) = 180^{\circ} - (48^{\circ} + 96^{\circ}) = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ}. \end{aligned} $ *(Примечание: на чертеже у точки B указано 36°, но для всего угла треугольника часто подразумевается сумма частей, если есть линия BE. Если угол B целиком 48° (36+12), расчет выше верный. Если же весь угол B = 36°, то угол F = 48°)*. 4. **Доказательство:** $ \begin{aligned} 1) & \text{ Т.к. } AB \parallel CD \text{ и } BC \parallel AD, \text{ то } ABCD \text{ — параллелограмм (по определению).} \\ 2) & \text{ В параллелограмме противолежащие углы равны. Следовательно, } \angle A = \angle C. \end{aligned} $ 5. **Ответ: 30 см** В прямоугольном $\triangle MNF$ ($\angle N = 90^{\circ}$): $ \begin{aligned} 1) & \angle F = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}. \\ 2) & FD \text{ — биссектриса } \angle F, \text{ значит } \angle DFN = \angle DFM = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}. \\ 3) & \text{ В прямоугольном } \triangle DNF: FD = 20 \text{ см (гипотенуза), } \angle DFN = 30^{\circ}. \\ & DN = FD \cdot \sin(30^{\circ}) = 20 \cdot 0,5 = 10 \text{ см (катет против угла 30°).} \\ 4) & \text{ В } \triangle MDF: \angle M = 30^{\circ}, \angle MFD = 30^{\circ}. \text{ Значит, } \triangle MDF \text{ — равнобедренный, } MD = FD = 20 \text{ см.} \\ 5) & MN = MD + DN = 20 + 10 = 30 \text{ см.} \end{aligned} $