1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $38°$. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен разности $180°$ и удвоенного угла при основании. $$180° - 2 \cdot 38° = 180° - 76° = 104°$$ **Ответ: $104°$** 2. Углы $ADK$ и $DCF$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $CF$ и секущей $DF$. Поэтому $\angle ADK = \angle DFC = 44°$. Угол $KDC$ является смежным с углом $ADK$. $\angle KDC = 180° - 107° = 73°$. В треугольнике $KDC$: $\angle DKC = 180° - \angle KDC - \angle DCK = 180° - 73° - 44° = 63°$. Угол $CFN$ является вертикальным с углом $KDC$. Нет, это не так. Угол $CFN$ является смежным с углом $CFD$. Угол $CFD$ равен $44°$. $\\angle CFN = 180° - \angle DFC = 180° - 44° = 136°$ **Ответ: $136°$** 3. В треугольнике $ABF$: $\angle A = 60°$, $\angle B = 36°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Тогда $\angle F = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 60° - 36° = 84°$. **Ответ: $84°$** 4. Нам дано, что $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Это определение параллелограмма. В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, $\angle A = \angle C$. 5. В прямоугольном треугольнике $MNF$ ($\angle N = 90°$) известны $\angle M = 30°$. Тогда $\angle F = 180° - 90° - 30° = 60°$. $FD$ - биссектриса угла $F$, значит, $\angle NFD = \angle MFD = \frac{60°}{2} = 30°$. Рассмотрим треугольник $MNF$. В нем $MN$ - катет, лежащий против угла в $30°$, значит $MN = \frac{1}{2} MF$. Рассмотрим треугольник $MDF$. В нем $\angle M = 30°$, $\angle MFD = 30°$. Значит, треугольник $MDF$ равнобедренный с основанием $MF$. Поэтому $MD = FD = 20$ см. Это неверно, так как $\angle M$ и $\angle MFD$ равны, то $FD = MD$. Угол $MFD$ равен 30 градусам. Угол $F$ в большом треугольнике равен 60 градусам. В треугольнике $MNF$ катет $MN$ лежит против угла $MFN = 60°$. Это не то. Повторное решение пункта 5. В треугольнике $MNF$ известно, что $\angle N = 90°$, $\angle M = 30°$. Значит, $\angle F = 180° - 90° - 30° = 60°$. $FD$ - биссектриса угла $F$. Значит, $\angle NFD = \angle MFD = \frac{60°}{2} = 30°$. Рассмотрим треугольник $MDF$. $\angle M = 30°$, $\angle MFD = 30°$. Так как два угла равны, то треугольник $MDF$ - равнобедренный. Стороны, лежащие против этих углов, равны, то есть $FD = MD$. По условию $FD = 20$ см, значит $MD = 20$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $NDF$. $\angle N = 90°$, $\angle NFD = 30°$. Тогда катет $ND$ лежит против угла $30°$, значит $ND = \frac{1}{2} FD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. Катет $MN = MD + DN = 20 + 10 = 30$ см. **Ответ: $30$ см**