Угол при основании равнобедренного треугольника равен $38^\circ$. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол при вершине равен: $$180^\circ - 2 \cdot 38^\circ = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$$ **Ответ: $104^\circ$** 2. Угол $\angle BFC$ (или $\angle CFN$) является внешним углом треугольника $KFC$. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Угол $\angle FKC$ равен углу $\angle AKD$ как вертикальные. А $\angle AKD$ равен $180^\circ - 73^\circ - 107^\circ$. Это неверно, $107^\circ$ - это внешний угол при вершине $D$. Поскольку $MN \parallel AD$, то $\angle KAD$ и $\angle MKD$ — это внутренние односторонние углы, их сумма равна $180^\circ$. То есть, $\angle AKD = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$. $\angle CKN = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$. В треугольнике $KFC$: $\angle KCF = 44^\circ$. Внешний угол при вершине $K$ для треугольника $KFC$ — это $\angle FKC$, который равен $73^\circ$. Угол $\angle CFN$ является внешним углом для треугольника $KFC$ при вершине $C$, но на рисунке это не так. $\angle CFN$ – это угол $\angle KCF$, дополняющий его до $180^\circ$ по прямой $MC$. Угол $\angle CFN$ и $\angle KCF$ образуют развёрнутый угол. $\angle CFN = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ$. **Ответ: $136^\circ$** 3. В треугольнике $ABF$: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 36^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle F = 180^\circ - 60^\circ - 36^\circ = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$. **Ответ: $84^\circ$** 4. Нам дано, что $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Это определение параллелограмма. В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. 5. В треугольнике $MNF$: $\angle N = 90^\circ$, $\angle M = 30^\circ$. Тогда $\angle F = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. $FD$ — биссектриса угла $F$. Значит, $\angle NFD = \frac{1}{2} \angle F = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $NDF$. В нём $\angle N = 90^\circ$, $\angle NFD = 30^\circ$. Катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. То есть, $ND = \frac{1}{2} FD$. Дано $FD = 20$ см. Значит, $ND = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. В треугольнике $MNF$: $\angle M = 30^\circ$, $\angle N = 90^\circ$. $ g M = \frac{NF}{MN} \Rightarrow \tg 30^\circ = \frac{NF}{MN}$. В треугольнике $NDF$: $\tg NFD = \frac{ND}{NF} \Rightarrow \tg 30^\circ = \frac{ND}{NF}$. Мы знаем $ND = 10$ см. Тогда $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{NF} \Rightarrow NF = 10\sqrt{3}$ см. Теперь вернёмся к треугольнику $MNF$. $\tg 30^\circ = \frac{NF}{MN} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{MN}$. $MN = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot 3 = 30$ см. **Ответ: $30$ см**