Вариант 2. № 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

### № 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1. Найдём сумму двух углов при основании: $38^{\circ} \times 2 = 76^{\circ}$. 2. Найдём угол при вершине: $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: 104°**. ### № 2. Рассмотрим рисунок 53. Прямые $MN$ и $AC$ пересечены секущими. 1. Углы при вершине $K$: $\angle MKD = 73^{\circ}$ и $\angle KDA = 107^{\circ}$. Так как $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$ (сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$), то прямые $MN \parallel AC$. 2. При параллельных прямых $MN$ и $AC$ накрест лежащие углы равны. Значит, $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. **Ответ: 44°**. ### № 3. Рассмотрим рисунок 54. 1. В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. (Уточнение: на рисунке $\angle A=60^{\circ}$, $\angle ABD=36^{\circ}$, $\angle ECF=24^{\circ}$). 2. В $\triangle ABF$: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 36^{\circ} + \angle DBC$. Однако проще рассмотреть $\triangle ACF$: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle ACF = 180^{\circ} - 24^{\circ} = 156^{\circ}$. Сумма углов будет больше $180^{\circ}$. **Допущение**: Вероятно, $\angle BCD$ не задан, но $\triangle ABC$ равносторонний ($60^{\circ}, 60^{\circ}, 60^{\circ}$). Тогда $\angle ACB = 60^{\circ}$. 3. Смежный угол $\angle BCF = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. 4. В $\triangle CEF$: $\angle F = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ}$. **Ответ: 36°**. ### № 4. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ (рис. 55). 1. По условию $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. 2. Проведём диагональ $BD$. $\triangle ABD = \triangle CDB$ по второму признаку (сторона $BD$ общая, $\angle ABD = \angle CDB$ и $\angle ADB = \angle CBD$ как накрест лежащие при параллельных прямых). 3. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит $\angle A = \angle C$. **Что и требовалось доказать.** ### № 5. В $\triangle MNF$ (прямоугольный, $\angle N = 90^{\circ}$): 1. $\angle F = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2. $AD$ — биссектриса $\angle M$, значит $\angle NMD = \angle DMF = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3. В $\triangle MDF$: $\angle DMF = 30^{\circ}$ и $\angle F = 30^{\circ}$. Треугольник равнобедренный, значит $MD = FD = 20$ см. 4. В прямоугольном $\triangle MND$: $\angle NMD = 30^{\circ}$. Катет $ND$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $ND = \frac{1}{2} MD = 20 : 2 = 10$ см. 5. Катет $MN$ по теореме Пифагора или через синус/косинус: $MN = MD \cdot \cos(30^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см. **Ответ: 10√3 см**.