Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

**1. Ответ: $104^{\circ}$** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $38^{\circ} \cdot 2 = 76^{\circ}$ — сумма двух углов при основании. 2) $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$ — угол при вершине. **2. Ответ: $136^{\circ}$** 1) Рассмотрим прямые $MN$ и $AC$ и секущую $KD$. Углы $\angle MKD = 73^{\circ}$ и $\angle KDA = 107^{\circ}$ — односторонние. Найдем их сумму: $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Так как сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$, то $MN \parallel AC$. 2) При параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $FC$ углы $\angle NFC$ и $\angle FCD$ являются односторонними. Их сумма равна $180^{\circ}$. 3) $\angle CFN = 180^{\circ} - \angle FCD = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$. **3. Ответ: $36^{\circ}$** 1) В $\triangle ABC$: $\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. 2) Углы $\angle ACB$ и $\angle BCF$ — смежные, значит $\angle BCF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. 3) Угол $\angle CEF = 24^{\circ}$ (по рисунку). В $\triangle CEF$ сумма углов: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle BCF + \angle CEF) = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **Допущение:** Исходя из рисунка 54, угол $24^{\circ}$ относится к $\angle CEF$, а точка $D$ лежит на $AB$. **4. Решение:** 1) Проведем диагональ $BD$. Она является секущей для параллельных прямых. 2) Так как $AB \parallel CD$, то $\angle ABD = \angle CDB$ (как накрест лежащие). 3) Так как $BC \parallel AD$, то $\angle CBD = \angle ADB$ (как накрест лежащие). 4) $\triangle ABD = \triangle CDB$ по стороне и двум прилежащим к ней углам ($BD$ — общая сторона, $\angle ABD = \angle CDB$, $\angle ADB = \angle CBD$). 5) В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. **5. Ответ: $30$ см** 1) В $\triangle MNF$: $\angle N = 90^{\circ}$, $\angle M = 30^{\circ}$, значит $\angle MFN = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. 2) $FD$ — биссектриса $\angle MFN$, значит $\angle NFD = \angle MFD = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В прямоугольном $\triangle DNF$: катет $ND$ лежит против угла $30^{\circ}$ ($\angle NFD$), значит $ND = \frac{1}{2} FD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. 4) В $\triangle MFD$: $\angle M = 30^{\circ}$ и $\angle MFD = 30^{\circ}$. Так как углы при основании равны, треугольник равнобедренный, $MD = FD = 20$ см. 5) $MN = MD + DN = 20 + 10 = 30$ см.