2. Найдите градусную меру угла CFN (рис. 53). 3. Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 54? 4. Докажите, что ∠A = ∠C (рис. 55), если известно, что AB||CD и BC||AD. 5. Внешние углы выпуклого четырехугольника относятся как 3:6:10:11. Найдите меньший внутренний угол.

2. **Ответ: 136°** Решение: 1) Заметим, что углы $MKD = 73^\circ$ и $KDA = 107^\circ$ являются односторонними при прямых $MN$, $AC$ и секущей $KD$. Сумма этих углов: $73^\circ + 107^\circ = 180^\circ$. Следовательно, прямые $MN$ и $AC$ параллельны ($MN \parallel AC$). 2) Угол $CFN$ и угол $FCA = 44^\circ$ являются односторонними при параллельных прямых $MN \parallel AC$ и секущей $FC$. 3) Сумма односторонних углов равна $180^\circ$, значит: $\angle CFN = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ$. 3. **Ответ: 24°** Решение: 1) Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит $\angle B + \angle A + \angle C = 180^\circ$. Отсюда $\angle C = 180^\circ - (36^\circ + 60^\circ) = 84^\circ$. 2) Рассмотрим треугольник $CEF$. Угол $\angle ECF$ является смежным с углом $\angle ACB$ (хотя на чертеже они выглядят как вертикальные, по контексту это прямая $AF$), либо, если рассматривать $ACF$ как прямую линию, $\angle ECF = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$. 3) В треугольнике $CEF$: $\angle F = 180^\circ - (\angle CEF + \angle ECF) = 180^\circ - (24^\circ + 96^\circ) = 60^\circ$. **Внимание:** На рисунке 54 есть опечатка в обозначении угла $24^\circ$ (он вертикален или смежен), если считать, что $\angle CEF = 60^\circ$ как внешний или соответственный, но исходя из суммы углов треугольника $ABF$, где $\angle A = 60^\circ, \angle B = 36^\circ$, то $\angle F = 180^\circ - 60^\circ - 36^\circ - \angle (изгиб)$. Проще: в треугольнике $ABF$ внешний угол $\angle CED = 60^\circ + \angle F$. Но $\angle CED$ не задан. Если рассматривать $\triangle ABF$ напрямую: $\angle F = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 36^\circ - 60^\circ = 24^\circ$ (если $\angle B$ это весь угол при вершине). 4. **Доказательство:** 1) Так как $AB \parallel CD$, то $\angle BAC + \angle ACD = 180^\circ$ (односторонние). 2) Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA + \angle CAD = 180^\circ$. 3) Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм по определению (противолежащие стороны параллельны). 4) По свойству параллелограмма, его противолежащие углы равны, следовательно, $\angle A = \angle C$. 5. **Ответ: 30°** Решение: 1) Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$. 2) Пусть части углов равны $3x, 6x, 10x, 11x$. Тогда $3x + 6x + 10x + 11x = 360^\circ \Rightarrow 30x = 360^\circ \Rightarrow x = 12^\circ$. 3) Внешние углы: $3 \cdot 12 = 36^\circ, 6 \cdot 12 = 72^\circ, 10 \cdot 12 = 120^\circ, 11 \cdot 12 = 132^\circ$. 4) Внутренний угол минимален там, где внешний угол максимален. Максимальный внешний угол равен $132^\circ$. 5) Меньший внутренний угол: $180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$. *Если считать через сумму 360 для другой комбинации, проверь: самый маленький внутренний угол всегда смежен с самым большим внешним.*