1. Исследовать функцию y=x^3 - 12x + 5 на монотонность.

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку. 1. **Исследование функции $y = x^3 - 12x + 5$ на монотонность:** Найдем производную: $y' = 3x^2 - 12$. Приравняем к нулю для поиска критических точек: $3x^2 - 12 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Методом интервалов определяем знаки производной: - На интервале $(-\infty; -2)$ производная положительна (функция возрастает). - На интервале $(-2; 2)$ производная отрицательна (функция убывает). - На интервале $(2; +\infty)$ производная положительна (функция возрастает). **Ответ:** Возрастает на $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$, убывает на $[-2; 2]$. 2. **Вычисление интеграла $\int_{0}^{\pi} \sin x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x dx + 5$:** Первый интеграл: $\int_{0}^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$. Второй интеграл: $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x dx = [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \sin \pi - \sin \frac{\pi}{2} = 0 - 1 = -1$. Сумма: $2 + (-1) + 5 = 6$. **Ответ:** 6. 3. **Отрезок АВ перпендикулярен плоскости $\alpha$:** По условию $AB$ — перпендикуляр, $AC$ — наклонная. Получаем прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle ABC = 90^\circ$, $AC$ — гипотенуза, $AB$ — катет. Проекция наклонной $AC$ на плоскость — это отрезок $BC$. По теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см. **Ответ:** 4 см. 4. **Найти образующую конуса:** Образующая ($l$), высота ($h$) и радиус ($r$) образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см. **Ответ:** 5 см.