Найдите градусную меру угла CFN (рис. 53). Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 54?

**2. Ответ: 63°** **Решение:** 1. Проверим параллельность прямых $MN$ и $AD$. Рассмотрим углы при секущей $MK$: $\angle MKD = 73^{\circ}$ и $\angle KDA = 107^{\circ}$. Это внутренние односторонние углы. $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$, то прямые $MN$ и $AD$ параллельны ($MN \parallel AD$). 2. Рассмотрим углы при параллельных прямых $MN$ и $AD$ и секущей $FC$. $\angle CFN$ и $\angle FCD$ — внутренние накрест лежащие углы. По свойству параллельных прямых они равны. $\angle CFN = \angle FCD = 44^{\circ}$. 3. Угол $CFN$ (из условия) на рисунке отмечен как часть развернутого угла или смежный с искомым? Судя по вопросу «градусная мера угла $CFN$», имеется в виду угол, отмеченный дугой. Но на чертеже дугой отмечен угол $KFC$, а не $CFN$. Если нужно найти $\angle CFN$ (внешний), то он равен $44^{\circ}$ как накрест лежащий. Однако, если под $\angle CFN$ подразумевается тупой угол (смежный с $KFC$), то: $\angle KFC = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$ (как односторонние с $FCD$). **Допущение:** В учебниках часто просят найти угол через сумму углов треугольника или свойства параллельности. Если рассмотреть треугольник, образованный пересечением секущих, то данных недостаточно. Если следовать стандартной логике поиска соответственных/накрест лежащих углов: $\angle CFN = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$ (если это внутренний односторонний к $FCD$ при других обозначениях) или $44^{\circ}$. Перепроверим чертеж 53: Угол $F$ отмечен дужкой с крестиком. Обычно так обозначают искомый угол. Этот угол $(\angle KFC)$ является внутренним односторонним с $\angle FCD$ при $MN \parallel AD$. $\angle KFC = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$. **3. Ответ: 36°** **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. $\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. 2. Углы $\angle ACB$ и $\angle FCE$ — вертикальные, значит $\angle FCE = 84^{\circ}$. 3. Рассмотрим треугольник $CEF$. Сумма его углов также $180^{\circ}$. $\angle F = 180^{\circ} - (\angle FCE + \angle CEF) = 180^{\circ} - (84^{\circ} + 24^{\circ} + 36^{\circ})$ — стоп, на рисунке $\angle CEF$ не задан целиком. Посмотрим иначе: $\angle BCD$ — внешний для $\triangle BCF$? В $\triangle ABF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABF$. $\angle ABF = \angle B = 36^{\circ}$ (судя по рисунку, это весь угол при вершине $B$). Тогда в $\triangle ABF$: $\angle F = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (36^{\circ} + \text{угол } DBF)$. Данных мало. **Альтернативный путь для рис. 54:** Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Для $\triangle BEF$ угол $\angle CED$ (или смежный) не ясен. Предположим, что $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ подобны или есть иные свойства. Если рассматривать треугольник $ABF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABF = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (36^{\circ} + \dots)$. Если $BC$ — прямая, то в $\triangle ACF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle A - \angle ACF$. Угол $\angle ACF$ смежный с $\angle ACB$. $\angle ACF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. Тогда в $\triangle ACF$: $\angle F = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 96^{\circ} = 24^{\circ}$.